《2025年新编高中同步作业高中数学选择性必修第一册人教版A》

任务三 与椭圆有关的轨迹问题
[探究活动]
探究1：一个动圆与圆$Q_1:(x + 3)^2 + y^2 = 1$外切，与圆$Q_2:(x - 3)^2 + y^2 = 81$内切，试求这个动圆圆心的轨迹方程.
探究2：已知圆$C:x^2 + y^2 = 4$，过圆$C$上一动点$M$作平行于$x$轴的直线$m$. 设直线$m$与$y$轴的交点为$N$. 若向量$\overrightarrow{OQ}=\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{ON}$，试求动点$Q$的轨迹方程.
[评价活动]
已知$P$是椭圆$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$上的一动点，$F_1$，$F_2$是椭圆的左、右焦点，延长$F_1P$到点$Q$，使得$|PQ|=|PF_2|$，求动点$Q$的轨迹方程.

答案： [探究活动]
探究1 提示：由已知，得两定圆的圆心和半径分别为$Q_{1}(-3,0)$，$R_{1}=1$；$Q_{2}(3,0)$，$R_{2}=9$.
设动圆圆心为$M(x,y)$，半径为$R$，如图.
由题设，得$|MQ_{1}| = 1 + R$，$|MQ_{2}| = 9 - R$，
所以$|MQ_{1}|+|MQ_{2}| = 10＞|Q_{1}Q_{2}| = 6$.
由椭圆的定义知，点$M$在以$Q_{1}$，$Q_{2}$为焦点的椭圆上，且$a = 5$，$c = 3$，
所以$b^{2}=a^{2}-c^{2}=25 - 9 = 16$，
故动圆圆心的轨迹方程为$\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{16}=1$.
探究2 提示：设点$M$的坐标为$(x_{0},y_{0})(y_{0}\neq0)$，点$Q$的坐标为$(x,y)$，点$N$的坐标为$(0,y_{0})$. 因为$\overrightarrow{OQ}=\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{ON}$，所以$(x,y)=(x_{0},2y_{0})$，即$x_{0}=x$，$y_{0}=\frac{y}{2}$. 又因为点$M$在圆$C$上，所以$x_{0}^{2}+y_{0}^{2}=4$，所以$x^{2}+\frac{y^{2}}{4}=4$. 由已知，直线$m$平行于$x$轴，得$y\neq0$，所以点$Q$的轨迹方程为$\frac{y^{2}}{16}+\frac{x^{2}}{4}=1(y\neq0)$.
[评价活动]
解：如图，依题意，得$|PF_{1}|+|PF_{2}| = 2a(a$是常数且$a＞0)$.
又$|PQ| = |PF_{2}|$，
所以$|PF_{1}|+|PQ| = 2a$，即$|QF_{1}| = 2a$.
由题意知，$a = 2$，$b = \sqrt{3}$，$c = \sqrt{a^{2}-b^{2}}=\sqrt{4 - 3}=1$，
所以$|QF_{1}| = 4$，$F_{1}(-1,0)$，
所以动点$Q$的轨迹是以$F_{1}$为圆心，$4$为半径的圆，
所以动点$Q$的轨迹方程是$(x + 1)^{2}+y^{2}=16$.

探究2：已知圆$C:x^2 + y^2 = 4$，过圆$C$上一动点$M$作平行于$x$轴的直线$m$. 设直线$m$与$y$轴的交点为$N$. 若向量$\overrightarrow{OQ}=\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{ON}$，试求动点$Q$的轨迹方程.

答案： 探究2 提示：设点$M$的坐标为$(x_{0},y_{0})(y_{0}\neq0)$，点$Q$的坐标为$(x,y)$，点$N$的坐标为$(0,y_{0})$. 因为$\overrightarrow{OQ}=\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{ON}$，所以$(x,y)=(x_{0},2y_{0})$，即$x_{0}=x$，$y_{0}=\frac{y}{2}$. 又因为点$M$在圆$C$上，所以$x_{0}^{2}+y_{0}^{2}=4$，所以$x^{2}+\frac{y^{2}}{4}=4$. 由已知，直线$m$平行于$x$轴，得$y\neq0$，所以点$Q$的轨迹方程为$\frac{y^{2}}{16}+\frac{x^{2}}{4}=1(y\neq0)$.
[评价活动]
解：如图，依题意，得$|PF_{1}|+|PF_{2}| = 2a(a$是常数且$a＞0)$.
又$|PQ| = |PF_{2}|$，
所以$|PF_{1}|+|PQ| = 2a$，即$|QF_{1}| = 2a$.
由题意知，$a = 2$，$b = \sqrt{3}$，$c = \sqrt{a^{2}-b^{2}}=\sqrt{4 - 3}=1$，
所以$|QF_{1}| = 4$，$F_{1}(-1,0)$，
所以动点$Q$的轨迹是以$F_{1}$为圆心，$4$为半径的圆，
所以动点$Q$的轨迹方程是$(x + 1)^{2}+y^{2}=16$.

[评价活动]
已知$P$是椭圆$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$上的一动点，$F_1$，$F_2$是椭圆的左、右焦点，延长$F_1P$到点$Q$，使得$|PQ|=|PF_2|$，求动点$Q$的轨迹方程.

答案： 解：如图，依题意，得$|PF_{1}|+|PF_{2}| = 2a(a$是常数且$a＞0)$.
又$|PQ| = |PF_{2}|$，
所以$|PF_{1}|+|PQ| = 2a$，即$|QF_{1}| = 2a$.
由题意知，$a = 2$，$b = \sqrt{3}$，$c = \sqrt{a^{2}-b^{2}}=\sqrt{4 - 3}=1$，
所以$|QF_{1}| = 4$，$F_{1}(-1,0)$，
所以动点$Q$的轨迹是以$F_{1}$为圆心，$4$为半径的圆，
所以动点$Q$的轨迹方程是$(x + 1)^{2}+y^{2}=16$.