《2025年新编高中同步作业高中数学选择性必修第一册人教版A》

1. 空间向量的加法、减法以及数乘运算
(1)如图1，$a + b=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}；$
(2)如图1，$a - b=\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{CA}；$

(3)如图2，当λ＞0时，$λa = λ\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{PQ}；$当λ＜0时，$λa = λ\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{MN}；$当λ = 0时，λa = ______.

答案： 0

2. 空间向量的线性运算满足的运算律(其中λ，μ∈R)
交换律：a + b = ________；
结合律：(a + b) + c = a + (b + c)，λ(μa) = (λμ)a；
分配律：(λ + μ)a = λa + μa，λ(a + b)= ________.

答案： $b + a$ $\lambda a+\lambda b$

[微训练]
1. 已知在空间四边形ABCD中，$\overrightarrow{AB}=a，$$\overrightarrow{CB}=b，$$\overrightarrow{AD}=c，$则$\overrightarrow{CD}=（ ）$
A. a + b - c
B. -a - b + c
C. -a + b + c
D. -a + b - c

答案： C

2. 在平行六面体$ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$中，用向量$\overrightarrow{AB}，$$\overrightarrow{AD}，$$\overrightarrow{AA_{1}}$表示向量$\overrightarrow{BD_{1}}$的结果为（ ）

$A. \overrightarrow{BD_{1}}=\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AA_{1}}$
$B. \overrightarrow{BD_{1}}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AA_{1}}-\overrightarrow{AB}$
$C. \overrightarrow{BD_{1}}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AA_{1}}$
$D. \overrightarrow{BD_{1}}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AA_{1}}$

答案： B

任务一　空间向量的有关概念
1. 下列关于空间向量的说法中正确的是（ ）
A. 若向量a，b平行，则a，b所在的直线未必平行
B. 若|a| = |b|，则a，b的长度相等而方向相同或相反
C. 若向量$\overrightarrow{AB}，$$\overrightarrow{CD}$满足$|\overrightarrow{AB}|＞|\overrightarrow{CD}|，$则$\overrightarrow{AB}＞\overrightarrow{CD}$
D. 相等向量其方向未必相同

答案： A解析：A中，向量$a$，$b$平行，则$a$，$b$所在的直线平行或重合，故A正确；B中，$|a| = |b|$只能说明$a$，$b$的长度相等而方向不确定，故B错误；C中，向量作为矢量不能比较大小，故C错误；D中，相等向量指的是两个向量长度相等且方向相同，故D错误. 故选A.

2. 如图，在长方体ABCD - A'B'C'D'中，AB = 3，AD = 2，AA' = 1，分别以长方体的顶点为起点和终点.
(1)单位向量共有多少个？
(2)试写出模为$\sqrt{5}$的所有向量.
(3)试写出与向量$\overrightarrow{AB}$相等的所有向量.
(4)试写出向量$\overrightarrow{AA'}$所有的相反向量.

答案： 解：
(1)因为长方体的高为1，所以长方体的四条高所对应的向量$\overrightarrow{AA'}$，$\overrightarrow{A'A}$，$\overrightarrow{BB'}$，$\overrightarrow{B'B}$，$\overrightarrow{CC'}$，$\overrightarrow{C'C}$，$\overrightarrow{DD'}$，$\overrightarrow{D'D}$都是单位向量，而其他向量的模均不为1，故单位向量共有8个.
(2)由于长方体的左、右两侧面的对角线长均为$\sqrt{5}$，故模为$\sqrt{5}$的向量有$\overrightarrow{AD'}$，$\overrightarrow{D'A}$，$\overrightarrow{A'D}$，$\overrightarrow{DA'}$，$\overrightarrow{BC'}$，$\overrightarrow{C'B}$，$\overrightarrow{B'C}$，$\overrightarrow{CB'}$.
(3)与向量$\overrightarrow{AB}$相等的所有向量（除它自身之外）有$\overrightarrow{A'B'}$，$\overrightarrow{DC}$，$\overrightarrow{D'C'}$.
(4)向量$\overrightarrow{AA'}$的相反向量有$\overrightarrow{A'A}$，$\overrightarrow{B'B}$，$\overrightarrow{C'C}$，$\overrightarrow{D'D}$.