《2025年新编高中同步作业高中数学选择性必修第一册人教版A》

知识点　点到直线的距离
点$P(x_0,y_0)$到直线$l:Ax + By + C = 0$的距离$d =$________.

答案： $\frac{\vert Ax_{0}+By_{0}+C\vert}{\sqrt{A^{2}+B^{2}}}$

[微训练]
1. 坐标原点到直线$x + 2y - 5 = 0$的距离为（ ）
A. 1 B. $\sqrt{3}$ C. 2 D. $\sqrt{5}$

答案： D

2. 点$(5,-3)$到直线$x + 2 = 0$的距离等于（ ）
A. 7 B. 5 C. 3 D. 2

答案： A

任务一 点到直线的距离
1. 点$A(-1,2)$到直线$y = 2x + 5$的距离为________.

答案： $\frac{\sqrt{5}}{5}$ 解析：$y = 2x + 5$ 可化为 $2x - y + 5 = 0$，所以点 $A(-1,2)$ 到直线 $2x - y + 5 = 0$ 的距离 $d = \frac{\vert - 2 - 2 + 5\vert}{\sqrt{2^{2}+(-1)^{2}}}=\frac{\sqrt{5}}{5}$。

2. 若点$M(-2,1)$到直线$x + 2y + c = 0$的距离为 1，则$c$的值为________.

答案： $\pm\sqrt{5}$ 解析：由点到直线的距离公式可知，$d = \frac{\vert - 2 + 2 + c\vert}{\sqrt{1^{2}+2^{2}}}=\frac{\vert c\vert}{\sqrt{5}} = 1$，所以 $c = \pm\sqrt{5}$。

3. 已知点$M(3,2\sqrt{3})$，$N(-1,2\sqrt{3})$，$F(1,0)$，求点$M$到直线$NF$的距离.

答案： 解：因为 $M(3,2\sqrt{3})$，$N(-1,2\sqrt{3})$，$F(1,0)$，易知直线 $NF$ 的斜率 $k = -\sqrt{3}$，故直线 $NF$ 的方程为 $y = -\sqrt{3}(x - 1)$，即 $\sqrt{3}x + y - \sqrt{3} = 0$，所以点 $M$ 到 $NF$ 的距离为 $\frac{\vert 3\sqrt{3}+2\sqrt{3}-\sqrt{3}\vert}{\sqrt{(\sqrt{3})^{2}+1}} = 2\sqrt{3}$。

任务二 点到直线的距离公式的应用
[探究活动]
已知点$A(-1,2)$，$B(3,0)$，直线$l$过点$M(-2,1)$，直线$l$到点$A$，$B$的距离相等.
探究 1：符合条件的直线$l$有哪几条?
探究 2：能不能求出这些直线的方程?

答案： 探究 1 提示：满足条件的直线经过线段 $AB$ 的中点或与直线 $AB$ 平行。
探究 2 提示：（方法一）由题意，可得 $k_{AB}=-\frac{1}{2}$，线段 $AB$ 的中点为 $C(1,1)$。
当直线过线段 $AB$ 的中点时，因为点 $M$ 与点 $C$ 的纵坐标相同，所以直线 $MC$ 的方程为 $y = 1$；
当直线与 $AB$ 平行时，其斜率为 $-\frac{1}{2}$，由点斜式可得直线方程为 $y - 1 = -\frac{1}{2}(x + 2)$，即 $x + 2y = 0$。
综上，所求直线的方程为 $y = 1$ 或 $x + 2y = 0$。
（方法二）显然所求直线的斜率存在，设直线方程为 $y = kx + b$。
根据条件，可得 $\begin{cases}1 = - 2k + b\\\frac{\vert - k - 2 + b\vert}{\sqrt{k^{2}+1}}=\frac{\vert 3k + b\vert}{\sqrt{k^{2}+1}}\end{cases}$，
化简，得 $\begin{cases}b - 2k = 1\\k = 1 - b\end{cases}$ 或 $\begin{cases}b - 2k = 1\\k = -\frac{1}{2}\end{cases}$，
所以 $\begin{cases}k = 0\\b = 1\end{cases}$ 或 $\begin{cases}k = -\frac{1}{2}\\b = 0\end{cases}$。
故所求直线方程为 $y = 1$ 或 $x + 2y = 0$。