《2025年新编高中同步作业高中数学选择性必修第一册人教版A》

[微训练]
1. 如图，在平行六面体ABCD - A1B1C1D1中，设$\overrightarrow{AA_{1}} = a，$$\overrightarrow{AB} = b，$$\overrightarrow{AD} = c，$N是BC的中点，用a，b，c表示$\overrightarrow{A_{1}N}$为（ ）

$A. - a + b + \frac{1}{2}c B. - a + b + c$
$C. - a - b + \frac{1}{2}c D. a - b + \frac{1}{2}c$

答案： A

2. 如图，在正方体ABCD - A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，D1B1的中点. 求证：EF⊥AB1.

答案： 证明：设 $\overrightarrow{AB}=a,\overrightarrow{AA_1}=b,\overrightarrow{AD}=c$，
则 $\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{EB_1}+\overrightarrow{B_1F}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{BB_1}+\overrightarrow{B_1D_1})=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AA_1}+\overrightarrow{BD})=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AA_1}+\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB})=\frac{1}{2}(-a + b + c)$，
$\overrightarrow{AB_1}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BB_1}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AA_1}=a + b$，
所以 $\overrightarrow{EF}\cdot\overrightarrow{AB_1}=\frac{1}{2}(-a + b + c)\cdot(a + b)=\frac{1}{2}(|b|^2 - |a|^2)=0$，
所以 $\overrightarrow{EF}\perp\overrightarrow{AB_1}$，即 $EF\perp AB_1$。

1. 若a，b，c构成空间的一个基底，则下列向量能构成空间的一个基底的是（ ）
A. a + b，a - c，b
B. c，b + c，b - c
C. b + c，a + b + c，a
D. a，a + b，a - b

答案： A 解析：对于 A，假设 $a + b,a - c,b$ 共面，则可设 $a + b=\lambda(a - c)+\mu b(\lambda,\mu\in R)$，所以 $\begin{cases}\lambda = 1\\\lambda = 0\\\mu = 1\end{cases}$，此方程组无解，$a + b,a - c,b$ 不共面，可以作为空间的一个基底，A 正确；
对于 B，$c=\frac{1}{2}(b + c)-\frac{1}{2}(b - c)$，所以 $c,b + c,b - c$ 共面，不能作为空间的一个基底，B 错误；
对于 C，$b + c=(a + b + c)-a$，所以 $b + c,a + b + c,a$ 共面，不能作为空间的一个基底，C 错误；
对于 D，因为 $a=\frac{1}{2}(a + b)+\frac{1}{2}(a - b)$，所以 $a,a + b,a - b$ 共面，不能作为空间的一个基底，D 错误。

2. 已知{e1，e2，e3}是空间的一个基底，且$\overrightarrow{OA} = e1 + 2e2 - e3，$$\overrightarrow{OB} = - 3e1 + e2 + 2e3，$$\overrightarrow{OC} = e1 + e2 - e3. $试判断${\overrightarrow{OA}，\overrightarrow{OB}，\overrightarrow{OC}}$能否作为空间的一个基底.

答案： 解：假设 $\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OC}$ 共面，
则存在实数 $\lambda,\mu$ 使得 $\overrightarrow{OA}=\lambda\overrightarrow{OB}+\mu\overrightarrow{OC}$，
所以 $e_1 + 2e_2 - e_3=\lambda(-3e_1 + e_2 + 2e_3)+\mu(e_1 + e_2 - e_3)=(-3\lambda+\mu)e_1+(\lambda+\mu)e_2+(2\lambda-\mu)e_3$。
因为 $e_1,e_2,e_3$ 不共面，
所以 $\begin{cases}-3\lambda+\mu = 1\\\lambda+\mu = 2\\2\lambda-\mu = -1\end{cases}$，此方程组无解，
所以 $\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OC}$ 不共面，
所以 $\{\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OC}\}$ 可以作为空间的一个基底。

探究1：某次反恐演习中，一特别行动小组获悉：“恐怖分子”将“人质”隐藏在某超市往南1 000 m，再往东600 m处的某大厦5楼（每层楼高3.5 m），行动小组迅速赶到目的地，完成解救“人质”的任务. “人质”的隐藏地由超市“南1 000 m”“东600 m”“5楼”这三个量确定，设e1是向南的单位向量，e2是向东的单位向量，e3是向上的单位向量.
（1）请把“人质”的位置用向量p表示出来.
（2）空间中的任意向量都能用向量e1，e2，e3表示出来吗？

答案： 提示：
(1)$p = 1000e_1 + 600e_2 + 14e_3$。
(2)以向量 $e_1,e_2,e_3$ 作为基底，可以表示出空间中的任意向量。