《2025年新编高中同步作业高中数学选择性必修第一册人教版A》

1. 已知圆$x^{2}+y^{2}-6x = 0$，过点$(1,2)$的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为（ ）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4

答案： B 解析：将圆的方程$x^{2}+y^{2}-6x = 0$化为标准方程$(x - 3)^{2}+y^{2}=9$。设圆心为$C$，则$C(3,0)$，半径$r = 3$。设点$(1,2)$为点$A$，过点$A(1,2)$的直线为$l$。因为$(1 - 3)^{2}+2^{2}＜9$，所以点$A(1,2)$在圆$C$的内部，则直线$l$与圆$C$必相交，设交点分别为$B$，$D$。易知当直线$l\perp AC$时，直线$l$被该圆所截得的弦的长度最小，设此时圆心$C$到直线$l$的距离为$d$，则$d = |AC| = \sqrt{(3 - 1)^{2}+(0 - 2)^{2}} = 2\sqrt{2}$，所以$|BD|_{\min}=2\sqrt{r^{2}-d^{2}} = 2\sqrt{3^{2}-(2\sqrt{2})^{2}} = 2$，即弦的长度的最小值为$2$。故选B。

2. 已知直线$x-\sqrt{3}y + 8 = 0$和圆$x^{2}+y^{2}=r^{2}(r＞0)$相交于$A$，$B$两点. 若$|AB| = 6$，则$r$的值为______.

答案： 5 解析：依题意，得圆心$(0,0)$到直线$x - \sqrt{3}y + 8 = 0$的距离$d = \frac{8}{2}=4$，所以$r^{2}=d^{2}+(\frac{|AB|}{2})^{2}=25$。又$r＞0$，所以$r = 5$。

3. 直线$l$经过点$P(5,5)$并且与圆$C:x^{2}+y^{2}=25$相交，截得的弦长为$4\sqrt{5}$，求$l$的方程.

答案：
解：据题意知，直线$l$的斜率存在。
设直线$l$的方程为$y - 5 = k(x - 5)$，与圆$C$相交于$A(x_{1},y_{1})$，$B(x_{2},y_{2})$。
(方法一)联立方程组$\begin{cases}y - 5 = k(x - 5)\\x^{2}+y^{2}=25\end{cases}$，
消去$y$，得$(k^{2}+1)x^{2}+10k(1 - k)x + 25k(k - 2)=0$，
由$\Delta = [10k(1 - k)]^{2}-4(k^{2}+1)\cdot25k(k - 2)＞0$，
解得$k＞0$。
又$x_{1}+x_{2}=-\frac{10k(1 - k)}{k^{2}+1}$，$x_{1}x_{2}=\frac{25k(k - 2)}{k^{2}+1}$，
由斜率公式，得$y_{1}-y_{2}=k(x_{1}-x_{2})$，
所以$|AB|=\sqrt{(x_{1}-x_{2})^{2}+(y_{1}-y_{2})^{2}} = \sqrt{(1 + k^{2})(x_{1}-x_{2})^{2}}=\sqrt{(1 + k^{2})[(x_{1}+x_{2})^{2}-4x_{1}x_{2}]} = \sqrt{(1 + k^{2})[\frac{100k^{2}(1 - k)^{2}}{(k^{2}+1)^{2}}-4\cdot\frac{25k(k - 2)}{k^{2}+1}]} = 4\sqrt{5}$，
两边平方，整理，得$2k^{2}-5k + 2 = 0$，
解得$k = \frac{1}{2}$或$k = 2$，符合题意，
故直线$l$的方程为$x - 2y + 5 = 0$或$2x - y - 5 = 0$。
(方法二)如图所示，

$|OH|$是圆心到直线$l$的距离，$|OA|$是圆的半径，$|AH|$是弦长$|AB|$的一半。
在$Rt\triangle AHO$中，$|OA| = 5$，$|AH|=\frac{1}{2}|AB| = \frac{1}{2}\times4\sqrt{5}=2\sqrt{5}$，
则$|OH|=\sqrt{|OA|^{2}-|AH|^{2}}=\sqrt{5}$，
所以$\frac{|5(1 - k)|}{\sqrt{k^{2}+1}}=\sqrt{5}$，解得$k = \frac{1}{2}$或$k = 2$，
所以直线$l$的方程为$x - 2y + 5 = 0$或$2x - y - 5 = 0$。