《2025年新编高中同步作业高中数学选择性必修第一册人教版A》

知识点一　线线垂直
如图，设直线$l_1$，$l_2$的方向向量分别为$\boldsymbol{u}_1$，$\boldsymbol{u}_2$，则$l_1 \perp l_2 \Leftrightarrow$______$\Leftrightarrow \boldsymbol{u}_1 \cdot \boldsymbol{u}_2 =$______.
　　　　　　

答案： $\boldsymbol{u}_1 \perp \boldsymbol{u}_2$ 0

知识点二　线面垂直
如图，设直线$l$的方向向量为$\boldsymbol{u}$，平面$\alpha$的法向量为$\boldsymbol{n}$，则$l \perp \alpha \Leftrightarrow$______$\Leftrightarrow \exists \lambda \in \mathbf{R}$，使得$\boldsymbol{u} =$______.
　　　　　

答案： $\boldsymbol{u} // \boldsymbol{n}$ $\lambda \boldsymbol{n}$

知识点三　面面垂直
如图，设平面$\alpha$，$\beta$的法向量分别为$\boldsymbol{n}_1$，$\boldsymbol{n}_2$，则$\alpha \perp \beta \Leftrightarrow$______$\Leftrightarrow \boldsymbol{n}_1 \cdot \boldsymbol{n}_2 =$______.
　　　　　　

答案： $\boldsymbol{n}_1 \perp \boldsymbol{n}_2$ 0

[微训练]
1. 已知直线$l$的方向向量是$\boldsymbol{a}=(2,-4,2)$，平面$\alpha$的法向量是$\boldsymbol{u}=(-1,2,-1)$，则直线$l$与平面$\alpha$的位置关系是（ ）
A. $l \perp \alpha$
B. $l // \alpha$
C. $l$与$\alpha$相交但不垂直
D. $l // \alpha$或$l \subset \alpha$

答案： A

2. 已知两平面$\alpha$，$\beta$的法向量分别为$\boldsymbol{u}_1=(1,0,1)$，$\boldsymbol{u}_2=(0,2,0)$，则平面$\alpha$，$\beta$的位置关系为______.

答案： 垂直

任务一 利用空间向量判断位置关系
1. 若$\boldsymbol{d}=(4,2,3)$是直线$l$的方向向量，$\boldsymbol{n}=(-1,3,0)$是平面$\alpha$的法向量，则直线$l$与平面$\alpha$的位置关系是（ ）
A. 垂直
B. 平行
C. 直线$l$在平面$\alpha$内
D. 相交但不垂直

答案： D 解析：显然 $\boldsymbol{d}$ 与 $\boldsymbol{n}$ 不平行，因此直线 $l$ 与平面 $\alpha$ 不垂直。又 $\boldsymbol{d} \cdot \boldsymbol{n}=4 \times(-1)+2 \times 3+3 \times 0=2$，即 $\boldsymbol{d}$ 与 $\boldsymbol{n}$ 不垂直，从而直线 $l$ 与平面 $\alpha$ 不平行且直线 $l$ 不在平面 $\alpha$ 内，故直线 $l$ 与平面 $\alpha$ 相交但不垂直。故选 D。

2. 在四棱锥$P - ABCD$中，底面$ABCD$是平行四边形，$\overrightarrow{AB}=(2,-1,-4)$，$\overrightarrow{AD}=(4,2,0)$，$\overrightarrow{AP}=(-1,2,-1)$，则直线$PA$与底面$ABCD$的关系是（ ）
A. 平行
B. 垂直
C. 在平面内
D. 成$60^{\circ}$角

答案： B 解析：依题意，得 $\overrightarrow{PA}=-\overrightarrow{AP}=(1,-2,1)$。因为 $\overrightarrow{PA} \cdot \overrightarrow{AB}=2+2 - 4=0$，$\overrightarrow{PA} \cdot \overrightarrow{AD}=4 - 4+0=0$，所以 $PA \perp AB$，$PA \perp AD$。又 $AB \cap AD = A$，$AB$，$AD \subset$ 平面 $ABCD$，所以 $PA \perp$ 平面 $ABCD$。故选 B。