《2025年新编高中同步作业高中数学选择性必修第一册人教版A》

任务二 一般形式下的平行与垂直问题
[探究活动]
　　探究1:已知直线$l_1$：2x + (m + 1)y + 4 = 0与直线$l_2$：mx + 3y - 2 = 0平行,试求m的值.
　　探究2:当a为何值时,直线$l_1$：(a + 2)x + (1 - a)y - 1 = 0与直线$l_2$：(a - 1)x + (2a + 3)y + 2 = 0互相垂直?

答案： 探究1 提示：(方法一) 由 $l_1:2x+(m + 1)y+4 = 0$，$l_2:mx + 3y - 2 = 0$ 知，
①当 $m = 0$ 时，显然 $l_1$ 与 $l_2$ 不平行；
②当 $m\neq0$ 时，$l_1// l_2$，需 $\frac{2}{m}=\frac{m + 1}{3}\neq\frac{4}{-2}$，解得 $m = 2$ 或 $m = -3$，所以 $m$ 的值为 2 或 -3。
(方法二) 令 $2\times3 = m(m + 1)$，解得 $m = -3$ 或 $m = 2$。
当 $m = -3$ 时，$l_1:x - y + 2 = 0$，$l_2:3x - 3y+2 = 0$。
显然 $l_1$ 与 $l_2$ 不重合，所以 $l_1// l_2$。
同理，当 $m = 2$ 时，$l_1:2x + 3y + 4 = 0$，$l_2:2x + 3y - 2 = 0$，
显然 $l_1$ 与 $l_2$ 不重合，所以 $l_1// l_2$，
所以 $m$ 的值为 2 或 -3。
探究2 提示：(方法一) 由题意知，直线 $l_1\perp l_2$。
①若 $1 - a = 0$，即 $a = 1$ 时，直线 $l_1:3x - 1 = 0$ 与直线 $l_2:5y + 2 = 0$ 显然垂直。
②若 $2a + 3 = 0$，即 $a = -\frac{3}{2}$ 时，直线 $l_1:x + 5y - 2 = 0$ 与直线 $l_2:5x - 4 = 0$ 不垂直。
③若 $1 - a\neq0$，且 $2a + 3\neq0$，则直线 $l_1$，$l_2$ 的斜率 $k_1$，$k_2$ 都存在，$k_1 = -\frac{a + 2}{1 - a}$，$k_2 = -\frac{a - 1}{2a + 3}$。
当 $l_1\perp l_2$ 时，$k_1\cdot k_2 = -1$，即 $(-\frac{a + 2}{1 - a})\cdot(-\frac{a - 1}{2a + 3})=-1$，所以 $a = -1$。
综上可知，当 $a = 1$ 或 $a = -1$ 时，直线 $l_1\perp l_2$。
(方法二) 由题意知，直线 $l_1\perp l_2$，
所以 $(a + 2)(a - 1)+(1 - a)(2a + 3)=0$，
解得 $a = \pm1$。
将 $a = \pm1$ 代入方程，均满足题意，
故当 $a = 1$ 或 $a = -1$ 时，直线 $l_1\perp l_2$。

[评价活动]
1. 数学家欧拉在1765年提出定理:三角形的外心，重心，垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半.这条直线被后人称为三角形的欧拉线.已知△ABC的顶点A(2,0),B(0,1),且AC = BC,则△ABC的欧拉线的方程为（ ）
A. 2x + 4y - 3 = 0
B. x - 2y - 3 = 0
C. 2x - y - 3 = 0
D. 4x - 2y - 3 = 0

答案： D 解析：因为 $AC = BC$，结合题意可知，$\triangle ABC$ 的欧拉线即为线段 $AB$ 的垂直平分线，$AB$ 的中点为 $M(1,\frac{1}{2})$，斜率 $k_{AB}=-\frac{1}{2}$，则 $AB$ 的垂直平分线的斜率 $k = 2$，则 $\triangle ABC$ 的欧拉线的方程为 $y-\frac{1}{2}=2(x - 1)$，即 $4x - 2y - 3 = 0$。
故选 D。

2. 已知直线l的方程为x + 2y - 1 = 0,点P的坐标为(1, - 2).
(1)求过点P且与直线l平行的直线方程;
(2)求过点P且与直线l垂直的直线方程.

答案： 解：
(1) 设过点 $P$ 且与直线 $l$ 平行的直线方程为 $x + 2y + k = 0$，则 $1 + 2\times(-2)+k = 0$，即 $k = 3$，所以过点 $P$ 且与直线 $l$ 平行的直线方程为 $x + 2y + 3 = 0$。
(2) 设过点 $P$ 且与直线 $l$ 垂直的直线方程为 $2x - y + b = 0$，则 $2\times1-(-2)+b = 0$，即 $b = -4$，所以过点 $P$ 且与直线 $l$ 垂直的直线方程为 $2x - y - 4 = 0$。