《2025年新编高中同步作业高中数学选择性必修第一册人教版A》

1. 求满足下列条件的直线的点斜式方程.
(1)过点P(-4，3)，斜率k = -3；
(2)过点P(3，-4)，且与x轴平行；
(3)过P(-2，3)，Q(5，-4)两点.

答案： 解：
(1) 由直线过点 P(-4,3)，斜率 k = -3，得直线的点斜式方程为 y - 3 = -3(x + 4)。
(2) 与 x 轴平行的直线，其斜率 k = 0，可得直线的点斜式方程为 y - (-4) = 0×(x - 3)，即 y + 4 = 0。
(3) 过点 P(-2,3)，Q(5,-4)的直线的斜率 $k_{PQ}=\frac{-4 - 3}{5 - (-2)}=\frac{-7}{7}=-1$。又因为直线过点 P(-2,3)，所以直线的点斜式方程为 y - 3 = -(x + 2)。

2. 直线y = x + 1绕着其上一点P(3，4)逆时针旋转90°后得直线l，求直线l的点斜式方程.

答案： 解：直线 y = x + 1 的斜率 k = 1，所以倾斜角为 45°。由题意知，直线 l 的倾斜角为 135°，所以直线 l 的斜率 $k'=\tan135^{\circ}=-1$。又点 P(3,4)在直线 l 上，由点斜式方程知，直线 l 的方程为 y - 4 = -(x - 3)。

3. 直线l过点P(2，-3)，且与过点M(-1，2)，N(5，2)的直线垂直，求直线l的方程.

答案： 直线 MN 的斜率 $k=\frac{2 - 2}{5 - (-1)}=0$，所以直线 MN 平行于 x 轴。因为直线 l 垂直于直线 MN，所以直线 l 的倾斜角为 90°。又直线 l 过点 P(2,-3)，所以直线 l 的方程为 x - 2 = 0，即 x = 2。

1. 根据条件写出下列直线的斜截式方程：
(1)斜率为2，在y轴上的截距是5；
(2)倾斜角为150°，在y轴上的截距是 -2；
(3)倾斜角为60°，与y轴的交点到坐标原点的距离为3.

答案： 解：
(1) 由直线方程的斜截式可知，所求直线方程为 y = 2x + 5。
(2) 由于倾斜角 $\alpha = 150^{\circ}$，所以斜率 $k = \tan150^{\circ}=-\frac{\sqrt{3}}{3}$，由斜截式，可得方程为 $y = -\frac{\sqrt{3}}{3}x - 2$。
(3) 由于直线的倾斜角为 60°，所以斜率 $k = \tan60^{\circ}=\sqrt{3}$。由于直线与 y 轴的交点到坐标原点的距离为 3，所以直线在 y 轴上的截距 b = 3 或 b = -3，故所求直线方程为 $y = \sqrt{3}x + 3$ 或 $y = \sqrt{3}x - 3$。

2. 已知直线l₁的方程为y = -2x + 3，l₂的方程为y = 4x - 2，直线l与l₁垂直，且与l₂在y轴上的截距互为相反数，求直线l的斜截式方程.

答案：
解：因为 $l_1\perp l$，直线 $l_1:y = -2x + 3$，所以 l 的斜率为 $\frac{1}{2}$。
因为 l 与 $l_2$ 在 y 轴上的截距互为相反数，直线 $l_2:y = 4x - 2$，所以 l 在 y 轴上的截距为 2，所以直线 l 的方程为 $y = \frac{1}{2}x + 2$。

3. 已知直线l的斜率为$\frac{1}{6}$，且和两坐标轴围成面积为3的三角形，求l的斜截式方程.

答案： 解：设直线方程为 $y = \frac{1}{6}x + b$，则 x = 0 时，y = b；y = 0 时，x = -6b。由已知，可得 $\frac{1}{2}\cdot|b|\cdot|-6b| = 3$，即 $6|b|^2 = 6$，解得 b = ±1，故所求直线方程为 $y = \frac{1}{6}x + 1$ 或 $y = \frac{1}{6}x - 1$。