《2025年新编高中同步作业高中数学选择性必修第一册人教版A》

如图所示，在四棱锥P - ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD = DC，E是PC的中点，作EF⊥PB于点F.
证明：（1）PA//平面EDB；
（2）PB⊥平面EFD.

答案：
证明：以$D$点为坐标原点，$\overrightarrow{DA}$，$\overrightarrow{DC}$，$\overrightarrow{DP}$所在的方向为$x$轴、$y$轴、$z$轴的正方向建立空间直角坐标系$Dxyz$(如图所示)，设$DC = a$。

(1)连接$AC$，交$BD$于点$G$，连接$EG$。
依题意，得$A(a,0,0)$，$P(0,0,a)$，$E(0,\frac{a}{2},\frac{a}{2})$。
因为$G$是正方形$ABCD$的中心，
所以点$G$的坐标为$(\frac{a}{2},\frac{a}{2},0)$，且$\overrightarrow{PA}=(a,0,-a)$，$\overrightarrow{EG}=(\frac{a}{2},0,-\frac{a}{2})$，
所以$\overrightarrow{PA}=2\overrightarrow{EG}$，即$PA// EG$。
又$EG\subset$平面$EDB$且$PA\not\subset$平面$EDB$，
所以$PA//$平面$EDB$。
(2)依题意，得$B(a,a,0)$，$\overrightarrow{PB}=(a,a,-a)$，$\overrightarrow{DE}=(0,\frac{a}{2},\frac{a}{2})$，
故$\overrightarrow{PB}\cdot\overrightarrow{DE}=0+\frac{a^{2}}{2}-\frac{a^{2}}{2}=0$，
所以$PB\perp DE$。
又$EF\perp PB$，且$EF\cap DE = E$，$EF$，$DE\subset$平面$EFD$，
所以$PB\perp$平面$EFD$。

问题1 怎样求点到直线的距离？

答案：
提示：如图，
设$\overrightarrow{AP}=a$，则向量$\overrightarrow{AP}$在直线$l$上的投影向量$\overrightarrow{AQ}=(a\cdot u)u$。在$Rt\triangle APQ$中，由勾股定理，得$PQ=\sqrt{|\overrightarrow{AP}|^{2}-|\overrightarrow{AQ}|^{2}}=\sqrt{a^{2}-(a\cdot u)^{2}}$。

问题2 怎样求点到平面的距离？

答案：
提示：如图，
已知平面$\alpha$的法向量为$n$，$A$是平面$\alpha$内的定点，$P$是平面$\alpha$外一点，则$PQ=\left|\overrightarrow{AP}\cdot\frac{n}{|n|}\right|=\frac{|\overrightarrow{AP}\cdot n|}{|n|}=\frac{|\overrightarrow{AP}\cdot n|}{|n|}$。

问题3 怎样求直线到平面、平面与平面的距离？

答案： 提示：把直线到平面的距离转化为直线上的点到平面的距离；平面与平面的距离转化为平面上的点到另一个平面的距离。

在长方体ABCD - A₁B₁C₁D₁中，AB = 4，AD = 6，AA₁ = 4，M是A₁C₁的中点，P在线段BC上，且|CP| = 2，Q是DD₁的中点.
（1）求点M到直线PQ的距离；
（2）求点M到平面AB₁P的距离.

答案：
解：如图，建立空间直角坐标系$Bxyz$，则$A(4,0,0)$，$M(2,3,4)$，$P(0,4,0)$，$Q(4,6,2)$，$B_{1}(0,0,4)$。

(1)因为$\overrightarrow{QM}=(-2,-3,2)$，$\overrightarrow{QP}=(-4,-2,-2)$，
所以$\overrightarrow{QM}$在$\overrightarrow{QP}$上的射影的模为$\frac{|\overrightarrow{QM}\cdot\overrightarrow{QP}|}{|\overrightarrow{QP}|}=\frac{|(-2)\times(-4)+(-3)\times(-2)+2\times(-2)|}{\sqrt{(-4)^{2}+(-2)^{2}+(-2)^{2}}}=\frac{10}{\sqrt{24}}=\frac{5\sqrt{6}}{6}$，
故点$M$到$PQ$的距离为$\sqrt{|\overrightarrow{QM}|^{2}-(\frac{5\sqrt{6}}{6})^{2}}=\sqrt{17 - \frac{25}{6}}=\frac{\sqrt{462}}{6}$。
(2)设$n=(x,y,z)$是平面$AB_{1}P$的一个法向量，
则$n\perp\overrightarrow{AB_{1}}$，$n\perp\overrightarrow{AP}$。
因为$\overrightarrow{AB_{1}}=(-4,0,4)$，$\overrightarrow{AP}=(-4,4,0)$，
所以$\begin{cases}-4x + 4z = 0\\-4x + 4y = 0\end{cases}$，
因此可取$n=(1,1,1)$。
由于$\overrightarrow{MA}=(2,-3,-4)$，
那么点$M$到平面$AB_{1}P$的距离$d=\frac{|\overrightarrow{MA}\cdot n|}{|n|}=\frac{|2\times1+(-3)\times1+(-4)\times1|}{\sqrt{3}}=\frac{5\sqrt{3}}{3}$，
故点$M$到平面$AB_{1}P$的距离为$\frac{5\sqrt{3}}{3}$。