《2025年新编高中同步作业高中数学选择性必修第一册人教版A》

[评价活动]
1. 若点$(4,a)$到直线$3y - 4x = 0$的距离不大于 3，则$a$的取值范围是（ ）
A. $[-\frac{3}{4},\frac{37}{4}]$
B. $[3,4]$
C. $[\frac{1}{3},\frac{31}{3}]$
D. $(-\infty,0]\cup[10,+\infty)$

答案： C 解析：点 $(4,a)$ 到直线 $3y - 4x = 0$ 的距离 $d = \frac{\vert 3a - 4\times4\vert}{\sqrt{3^{2}+(-4)^{2}}}=\frac{\vert 3a - 16\vert}{5}\leq3$，变形为 $\vert 3a - 16\vert\leq15$，即 $-15\leq3a - 16\leq15$，解得 $\frac{1}{3}\leq a\leq\frac{31}{3}$，所以 $a$ 的取值范围是 $[\frac{1}{3},\frac{31}{3}]$。

2. 设直线$l_1:3x - y - 1 = 0$与直线$l_2:x + 2y - 5 = 0$的交点为$A$，则点$A$到直线$l:x + by + 2 + b = 0$的距离的最大值为（ ）
A. 4 B. $\sqrt{10}$ C. $3\sqrt{2}$ D. $\sqrt{11}$

答案： C 解析：联立直线 $l_{1}:3x - y - 1 = 0$ 与直线 $l_{2}:x + 2y - 5 = 0$ 的方程，解得交点 $A(1,2)$，
所以点 $A$ 到直线 $l:x + by + 2 + b = 0$ 的距离 $d = \frac{\vert 3 + 3b\vert}{\sqrt{1 + b^{2}}}=\sqrt{9+\frac{18}{b+\frac{1}{b}}}\leq\sqrt{9+\frac{18}{2\sqrt{b\cdot\frac{1}{b}}}} = 3\sqrt{2}(b\neq0)$，当且仅当 $b = 1$ 时取等号；
当 $b = 0$ 时，$d = 3\lt3\sqrt{2}$；
当 $b\lt0$ 时，$b+\frac{1}{b}\leq - 2$，$0\leq d\lt3\lt3\sqrt{2}$。
故点 $A$ 到直线 $l:x + by + 2 + b = 0$ 的距离的最大值为 $3\sqrt{2}$。

任务三 对称问题
1. 点$(1,2)$关于直线$x + y - 2 = 0$的对称点是（ ）
A. $(1,0)$ B. $(0,1)$ C. $(0,-1)$ D. $(2,1)$

答案： B 解析：设点 $A(1,2)$ 关于直线 $x + y - 2 = 0$ 的对称点是 $B(a,b)$，
则 $\begin{cases}\frac{b - 2}{a - 1}=1\\\frac{a + 1}{2}+\frac{b + 2}{2}-2 = 0\end{cases}$，解得 $\begin{cases}a = 0\\b = 1\end{cases}$，
故点 $(1,2)$ 关于直线 $x + y - 2 = 0$ 的对称点是 $(0,1)$。

2. 已知直线$l_1:y = \sqrt{2}x + 2$，直线$l_2$与$l_1$关于直线$y = -x + 1$对称，则直线$l_2$的方程为________.

答案： $x-\sqrt{2}y+\sqrt{2}+1 = 0$ 解析：在 $l_{1}$ 上取一点 $P(0,2)$。
设点 $P$ 关于直线 $y = - x + 1$ 的对称点为 $P'(a,b)$，
则 $\begin{cases}\frac{b - 2}{a}=1\\\frac{b + 2}{2}=-\frac{a}{2}+1\end{cases}$，解得 $\begin{cases}a = - 1\\b = 1\end{cases}$。
联立方程 $\begin{cases}y=\sqrt{2}x + 2\\y = - x + 1\end{cases}$，
解得 $l_{1}$ 与直线的交点坐标为 $(1-\sqrt{2},\sqrt{2})$。
易知直线 $l_{2}$ 过交点和 $P'(-1,1)$，
所以直线 $l_{2}$ 的斜率为 $\frac{\sqrt{2}-1}{-\sqrt{2}+2}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，
所以直线 $l_{2}$ 的方程为 $y - 1=\frac{\sqrt{2}}{2}(x + 1)$，即 $x-\sqrt{2}y+\sqrt{2}+1 = 0$。

3. 若直线$l_1:y = kx + 4$与直线$l_2$关于点$M(1,2)$对称，当$l_2$经过点$N(0,-1)$时，求点$M$到直线$l_2$的距离.

答案： 解：因为直线 $l_{1}:y = kx + 4$ 恒过定点 $P(0,4)$，
所以 $P(0,4)$ 关于点 $M(1,2)$ 的对称点为 $(2,0)$，
此时 $(2,0)$ 和 $N(0,-1)$ 都在直线 $l_{2}$ 上。
由直线方程的两点式，可得 $\frac{y - 0}{-1 - 0}=\frac{x - 2}{0 - 2}$，即 $x - 2y - 2 = 0$，
所以点 $M$ 到直线 $l_{2}$ 的距离 $d = \frac{\vert 1 - 4 - 2\vert}{\sqrt{1 + 2^{2}}}=\sqrt{5}$。