《2025年新编高中同步作业高中数学选择性必修第一册人教版A》

探究2：点P是矩形ABCD所在平面外一点，且PA⊥平面ABCD，M，N分别是PC，PD上的点，且$\overrightarrow{PM} = \frac{2}{3}\overrightarrow{PC}，$$\overrightarrow{PN} = \overrightarrow{ND}. $试求满足$\overrightarrow{MN} = x\overrightarrow{AB} + y\overrightarrow{AD} + z\overrightarrow{AP}$的实数x，y，z的值.

答案：
提示：如图，取 $PC$ 的中点 $E$，连接 $NE$，
则 $\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{EN}-\overrightarrow{EM}=\frac{1}{2}\overrightarrow{CD}-(\overrightarrow{PM}-\overrightarrow{PE})=\frac{1}{2}\overrightarrow{CD}-(\frac{2}{3}\overrightarrow{PC}-\frac{1}{2}\overrightarrow{PC})=\frac{1}{2}\overrightarrow{CD}-\frac{1}{6}\overrightarrow{PC}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}-\frac{1}{6}(-\overrightarrow{AP}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD})=-\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}-\frac{1}{6}\overrightarrow{AD}+\frac{1}{6}\overrightarrow{AP}$，
所以 $x = -\frac{2}{3},y = -\frac{1}{6},z = \frac{1}{6}$。

1. 在平行六面体ABCD - A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点，$\overrightarrow{AB} = a，$$\overrightarrow{AD} = b，$$\overrightarrow{AA_{1}} = c，$则下列向量中与$\overrightarrow{BM}$相等的向量是（ ）

$A. - \frac{1}{2}a + \frac{1}{2}b + c B. \frac{1}{2}a + \frac{1}{2}b + c$
$C. - \frac{1}{2}a - \frac{1}{2}b + c D. \frac{1}{2}a - \frac{1}{2}b + c$

答案： A 解析：$\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{BB_1}+\overrightarrow{B_1M}=\overrightarrow{BB_1}+\frac{1}{2}(\overrightarrow{A_1D_1}-\overrightarrow{A_1B_1})=\overrightarrow{AA_1}+\frac{1}{2}(\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB})=c+\frac{1}{2}(b - a)=-\frac{1}{2}a+\frac{1}{2}b + c$。

2. 已知四棱锥P - OABC的底面为一矩形，PO⊥平面OABC. 设OA = a，OC = b，OP = c，E，F分别是PC和PB的中点.
（1）{a，b，c}是否构成空间的一个基底？
（2）若{a，b，c}可以构成空间的一个基底，用a，b，c表示BF，BE，AE，EF.

答案：
解：
(1)$\overrightarrow{OA}=a,\overrightarrow{OC}=b,\overrightarrow{OP}=c$ 不共面，能构成空间的一个基底。
(2)如图所示，连接 $BO$，

则 $\overrightarrow{BF}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BP}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{BO}+\overrightarrow{OP})=\frac{1}{2}(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{OP})=\frac{1}{2}(c - b - a)=-\frac{1}{2}a-\frac{1}{2}b+\frac{1}{2}c$，
$\overrightarrow{BE}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CE}=-a+\frac{1}{2}\overrightarrow{CP}=-a+\frac{1}{2}(\overrightarrow{CO}+\overrightarrow{OP})=-a-\frac{1}{2}b+\frac{1}{2}c$，
$\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{AP}+\overrightarrow{PE}=\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{OP}+\frac{1}{2}(\overrightarrow{PO}+\overrightarrow{OC})=-a + c+\frac{1}{2}(-c + b)=-a+\frac{1}{2}b+\frac{1}{2}c$，
$\overrightarrow{EF}=\frac{1}{2}\overrightarrow{CB}=\frac{1}{2}\overrightarrow{OA}=\frac{1}{2}a$。