《2025年新编高中同步作业高中数学选择性必修第一册人教版A》

任务二　空间向量的线性运算
1.《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱. 如图，在堑堵$ABC - A_{1}B_{1}C_{1}$中，M，N分别是$A_{1}C_{1}，$$BB_{1}$的中点，G是MN的中点. 若$\overrightarrow{AG}=x\overrightarrow{AB}+y\overrightarrow{AA_{1}}+z\overrightarrow{AC}，$则x + y + z =（ ）
$A. \frac{3}{2} B. \frac{2}{3} C. 1 D. \frac{3}{4}$

答案： A解析：如图，连接$AM$，$AN$.
因为$\overrightarrow{AG}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{AN})=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AA_1}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AA_1})=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{3}{4}\overrightarrow{AA_1}+\frac{1}{4}\overrightarrow{AC}$，
所以$x + y + z=\frac{1}{2}+\frac{3}{4}+\frac{1}{4}=\frac{3}{2}$.

2. 如图，已知正方体ABCD - A'B'C'D'，点E是上底面A'B'C'D'的中心，求下列各式中x，y，z的值.
$(1)\overrightarrow{BD'}=x\overrightarrow{AD}+y\overrightarrow{AB}+z\overrightarrow{AA'}；$
$(2)\overrightarrow{AE}=x\overrightarrow{AD}+y\overrightarrow{AB}+z\overrightarrow{AA'}.$

答案： 解：
(1)因为$\overrightarrow{BD'}=\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{DD'}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DD'}=\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AA'}$，
$\overrightarrow{BD'}=x\overrightarrow{AD}+y\overrightarrow{AB}+z\overrightarrow{AA'}$，
所以$x = 1$，$y = -1$，$z = 1$.
(2)因为$\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{AA'}+\overrightarrow{A'E}=\overrightarrow{AA'}+\frac{1}{2}\overrightarrow{A'C'}=\overrightarrow{AA'}+\frac{1}{2}(\overrightarrow{A'B'}+\overrightarrow{A'D'})=\overrightarrow{AA'}+\frac{1}{2}\overrightarrow{A'B'}+\frac{1}{2}\overrightarrow{A'D'}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AA'}$，
$\overrightarrow{AE}=x\overrightarrow{AD}+y\overrightarrow{AB}+z\overrightarrow{AA'}$，
所以$x=\frac{1}{2}$，$y=\frac{1}{2}$，$z = 1$.

3. 如图所示，在平行六面体$ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$中，设$\overrightarrow{AA_{1}} = a，$$\overrightarrow{AB} = b，$$\overrightarrow{AD} = c，$M，N，P分别是$AA_{1}，$BC，$C_{1}D_{1}$的中点，试用a，b，c表示以下各向量：
$(1)\overrightarrow{AP}；$$(2)\overrightarrow{A_{1}N}；$$(3)\overrightarrow{MP}.$

答案： 解：
(1)因为$P$是$C_1D_1$的中点，
所以$\overrightarrow{AP}=\overrightarrow{AA_1}+\overrightarrow{A_1D_1}+\overrightarrow{D_1P}=a+\overrightarrow{AD}+\frac{1}{2}\overrightarrow{D_1C_1}=a + c+\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}=a+\frac{1}{2}b + c$.
(2)因为$N$是$BC$的中点，
所以$\overrightarrow{A_1N}=\overrightarrow{A_1A}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BN}=-a + b+\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}=-a + b+\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}=-a + b+\frac{1}{2}c$.
(3)因为$M$是$AA_1$的中点，
所以$\overrightarrow{MP}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AP}=\frac{1}{2}\overrightarrow{A_1A}+\overrightarrow{AP}=-\frac{1}{2}a+(a+\frac{1}{2}b + c)=\frac{1}{2}a+\frac{1}{2}b + c$.