《2025年新编高中同步作业高中数学选择性必修第一册人教版A》

1. 若圆$x^2 + y^2 = 4$与圆$x^2 + y^2 + 2ay - 6 = 0$（$a＞0$）的公共弦的长为$2\sqrt{3}$，则a = ______.

答案：
1 解析：两圆的方程作差易知，公共弦所在直线的方程为$y = \frac{1}{a}$. 如图，已知$|AC| = \sqrt{3}$，$|OA| = 2$，所以$|OC| = \frac{1}{a} = 1$，所以$a = 1$.

2. 求圆心在直线$x + y = 0$上，且过两圆$x^2 + y^2 - 2x + 10y - 24 = 0$，$x^2 + y^2 + 2x + 2y - 8 = 0$交点的圆的方程.

答案： 解：(方法一)解方程组
$\begin{cases}x^2 + y^2 - 2x + 10y - 24 = 0, \\ x^2 + y^2 + 2x + 2y - 8 = 0,\end{cases}$
得交点坐标分别为$(0,2)$，$(-4,0)$.
设所求圆的圆心坐标为$(a,-a)$，
则$\sqrt{a^2 + (-a - 2)^2} = \sqrt{(a + 4)^2 + a^2} = r$，
解得$a = -3$，$r = \sqrt{10}$，
所以圆的方程为$(x + 3)^2 + (y - 3)^2 = 10$.
(方法二)同方法一，得两已知圆的交点坐标为$(0,2)$，$(-4,0)$.
设所求圆的方程为$x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$，
则$\begin{cases}4 + 2E + F = 0, \\ 16 - 4D + F = 0, \\ -\frac{D}{2} - \frac{E}{2} = 0,\end{cases}$解得$\begin{cases}D = 6, \\ E = -6, \\ F = 8,\end{cases}$
所以圆的方程为$x^2 + y^2 + 6x - 6y + 8 = 0$.
(方法三)设所求圆的方程为$x^2 + y^2 - 2x + 10y - 24 + \lambda(x^2 + y^2 + 2x + 2y - 8) = 0(\lambda \neq -1)$，
即$(1 + \lambda)x^2 + (1 + \lambda)y^2 + (2\lambda - 2)x + (2\lambda + 10)y - 8\lambda - 24 = 0$.
因为这个圆的圆心在直线$x + y = 0$上，
所以$-\frac{2\lambda - 2}{2(1 + \lambda)} - \frac{2\lambda + 10}{2(1 + \lambda)} = 0$，解得$\lambda = -2$，
所以圆的方程为$x^2 + y^2 + 6x - 6y + 8 = 0$.