《2025年新编高中同步作业高中数学选择性必修第一册人教版A》

知识点 圆与圆的位置关系

答案： $d ＞ r_1 + r_2$ 没有实数解 $|r_1 - r_2| ＜ d ＜ r_1 + r_2$ 两组不同的实数解 $d = |r_1 - r_2|(r_1 \neq r_2)$ 一组实数解 $0 \leq d ＜ |r_1 - r_2|(r_1 \neq r_2)$ 没有实数解

1. 圆$x^2 + y^2 - 2x = 0$和圆$x^2 + y^2 + 4y = 0$的位置关系是（ ）
A. 相离
B. 外切
C. 相交
D. 内切

答案： C

2. 若圆$C_1:x^2 + y^2 = 16$与圆$C_2:(x - a)^2 + y^2 = 1$相切，则a的值为（ ）
A. ±3
B. ±5
C. 3或5
D. ±3或±5

答案： D

3. 圆$x^2 + y^2 = 1$与圆$x^2 + y^2 + 2x + 2y + 1 = 0$的交点坐标为（ ）
A. (1,0)和(0,1)
B. (1,0)和(0, -1)
C. (-1,0)和(0, -1)
D. (-1,0)和(0,1)

答案： C

1. 圆$x^2 + y^2 - 2x = 0$和圆$x^2 + y^2 + 4y = 0$的位置关系是（ ）
A. 相离
B. 外切
C. 相交
D. 内切

答案： C 解析：两圆的方程可分别化为$(x - 1)^2 + y^2 = 1$和$x^2 + (y + 2)^2 = 4$. 两圆的圆心距为$\sqrt{1^2 + (0 + 2)^2} = \sqrt{5}$. 又$2 - 1 ＜ \sqrt{5} ＜ 2 + 1$，所以两圆相交. 故选 C.

2. 若圆$C_1:x^2 + y^2 = 1$与圆$C_2:x^2 + y^2 - 6x - 8y + m = 0$外切，则m =（ ）
A. 21
B. 19
C. 9
D. -11

答案： C 解析：圆$C_2$可化为$(x - 3)^2 + (y - 4)^2 = 25 - m$，圆心为$(3,4)$，半径为$\sqrt{25 - m}$，依题意，得$\sqrt{(3 - 0)^2 + (4 - 0)^2} = 1 + \sqrt{25 - m}$，解得$m = 9$. 故选 C.

3. 已知圆$C_1:x^2 + y^2 - 2ax - 2y + a^2 - 15 = 0$，圆$C_2:x^2 + y^2 - 4ax - 2y + 4a^2 = 0$，$a＞0$。
试求当a为何值时，两圆$C_1$，$C_2$的位置关系为：
(1)相切；(2)相交；(3)外离；(4)内含.

答案： 解：圆$C_1$，$C_2$的方程，经配方后，可得
$C_1:(x - a)^2 + (y - 1)^2 = 16$，
$C_2:(x - 2a)^2 + (y - 1)^2 = 1$，
所以圆心$C_1(a,1)$，$C_2(2a,1)$，半径$r_1 = 4$，$r_2 = 1$，
所以$|C_1C_2| = \sqrt{(a - 2a)^2 + (1 - 1)^2} = a$.
(1)当$|C_1C_2| = r_1 + r_2 = 5$，即$a = 5$时，两圆外切；
当$|C_1C_2| = r_1 - r_2 = 3$，即$a = 3$时，两圆内切.
(2)当$3 ＜ |C_1C_2| ＜ 5$，即$3 ＜ a ＜ 5$时，两圆相交.
(3)当$|C_1C_2| ＞ 5$，即$a ＞ 5$时，两圆外离.
(4)当$0 ＜ |C_1C_2| ＜ 3$，即$0 ＜ a ＜ 3$时，两圆内含.