《2025年新编高中同步作业高中数学选择性必修第一册人教版A》

定义

如图，已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作$\overrightarrow{OA}=a$，$\overrightarrow{OB}=b$，则∠AOB叫做向量a，b的______，记作______.

答案： 夹角 $\langle a,b\rangle$

夹角的范围
通常规定，______. 这样，两个向量的夹角是唯一确定的，且$\langle a,b\rangle =$______. 如果$\langle a,b\rangle =\frac{\pi}{2}$，那么向量a，b______，记作______.

答案： $0\leqslant\langle a,b\rangle\leqslant\pi$ $\langle b,a\rangle$ 互相垂直 $a\perp b$

[微训练]
在正方体ABCD - A₁B₁C₁D₁中，向量$\overrightarrow{BC_{1}}$与$\overrightarrow{AC}$夹角的大小为______.

答案： $60^{\circ}$

定义：已知两个非零向量a，b，则__________________叫做a，b的数量积，记作a·b. 即__________________. 其中，__________________称为向量a在向量b上的投影向量. 特别地，零向量与任意向量的数量积为0.

答案： $|a||b|\cos\langle a,b\rangle$ $a\cdot b = |a||b|\cos\langle a,b\rangle$ $|a|\cos\langle a,b\rangle\frac{b}{|b|}$

线面角
如图，向量a向平面β投影，就是分别由向量a的起点A和终点B作平面β的垂线，垂足分别为A'，B'，得到向量$\overrightarrow{A'B'}$，向量______称为向量a在平面β上的______. 这时，向量______的夹角就是向量a所在直线与平面β所成的角.

答案： $\overrightarrow{A'B'}$ 投影向量 $a,\overrightarrow{A'B'}$

3. 空间两向量的数量积的性质

答案：  3. $a\cdot b = 0$ $|a||b|$ $-|a||b|$ $|a||a|$ $\cos\langle a,a\rangle$ $\sqrt{a\cdot a}$ $\leqslant\frac{a\cdot b}{|a||b|}$

空间向量的数量积满足的运算律
（1）$(\lambda a)·b =$______，$\lambda\in R$；
（2）a·b = ______（交换律）；
（3）$(a + b)·c =$______（分配律）.

答案： $\lambda(a\cdot b)$ $b\cdot a$ $a\cdot c + b\cdot c$