《2025年新编高中同步作业高中数学选择性必修第一册人教版A》

1.已知i,j,k是空间直角坐标系Oxyz中x轴、y轴、z轴正方向上的单位向量,且$\overrightarrow{OA}=3\boldsymbol{i}$，$\overrightarrow{AB}=\boldsymbol{i}+\boldsymbol{j}+\boldsymbol{k}$，则点B的坐标为(　　　)
　
A.(1,−1,1)　　　　B.(4,1,1)
　
C.(1,4,2)　　　　　D.(4,1,2)

答案： B 解析：由题意可知，$\overrightarrow{OA}=(3,0,0)$，$\overrightarrow{AB}=(1,1,1)$。设 B(x,y,z)，则$\overrightarrow{AB}=(x - 3,y,z)=(1,1,1)$，解得 x = 4，y = 1，z = 1，所以点 B 的坐标为(4,1,1)，故选 B。

2.如图,在长方体OBCD−O₁B₁C₁D₁中,OB = 4，OD = 3，OO₁ = 5，N为棱CC₁的中点,分别以OB,OD,OO₁所在的直线为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系.
　(1)求点O,B,C,D,O₁,B₁,C₁,D₁的坐标;
　(2)求点N的坐标.
　　　　　　　　　　　　

答案： 解：
(1)由已知，得 O(0,0,0)。
因为点 B 在 x 轴上，OB = 4，
所以$\overrightarrow{OB}=4i + 0j + 0k$，
所以 B(4,0,0)。
同理，D(0,3,0)，$O_1(0,0,5)$。
又点 C 在 x 轴、y 轴、z 轴上的射影分别为 B，D，O，它们在坐标轴上的坐标分别为 4，3，0，
所以点 C 的坐标为(4,3,0)。
同理，$B_1(4,0,5)$，$D_1(0,3,5)$。
又点$C_1$在 x 轴、y 轴、z 轴上的射影分别为 B，D，$O_1$，它们在坐标轴上的坐标分别为 4，3，5，
所以点$C_1$的坐标为(4,3,5)。
综上所述，点 O(0,0,0)，B(4,0,0)，C(4,3,0)，D(0,3,0)，$O_1(0,0,5)$，$B_1(4,0,5)$，$C_1(4,3,5)$，$D_1(0,3,5)$。
(2)由
(1)知，C(4,3,0)，$C_1(4,3,5)$，
则$C_1C$的中点为$(\frac{4 + 4}{2},\frac{3 + 3}{2},\frac{0 + 5}{2})$，即$N(4,3,\frac{5}{2})$。

[探究活动]
　　在平面直角坐标系中，我们学习过对称点的坐标特征:
a.点P(m,n)关于x轴的对称点为P₁(m, - n),即横坐标不变,纵坐标互为相反数;
　　b.点P(m,n)关于y轴的对称点为P₂( - m,n)，即纵坐标不变，横坐标互为相反数;
　　c.点P(m,n)关于原点的对称点为P₃( - m, - n),即横、纵坐标都互为相反数.
　　探究1:空间中点P(x,y,z)关于坐标平面Oxy的对称点的坐标有何特征？
　　探究2:空间中的点P(x,y,z)关于x轴的对称点的坐标有何特征？
　探究3:空间中的点P(x,y,z)关于坐标原点的对称点的坐标有何特征？

答案： 探究 1 提示：x，y 坐标不变，z 坐标变为相反数。 探究 2 提示：x 坐标不变，y，z 坐标变为相反数。 探究 3 提示：x，y，z 坐标均变为相反数。 

1.点(2,3,2)关于Oxy平面的对称点为　(　　　)
　
A.(2,3,−2)
　
B.(−2,−3,−2)

C.(−2,−3,2)
　
D.(2,−3,−2)

答案： A 解析：因为点关于 Oxy 平面的对称点，横坐标、纵坐标不变，而竖坐标互为相反数，所以点(2,3,2)关于 Oxy 平面的对称点为(2,3, - 2)。故选 A。