《2025年新编高中同步作业高中数学选择性必修第一册人教版A》

如图，设$\overrightarrow{AP}=a$，直线$l$的单位方向向量为$u$，则向量$\overrightarrow{AP}$在直线$l$上的投影向量$\overrightarrow{AQ}=(a\cdot u)u$. 在$Rt\triangle APQ$中，由勾股定理，得$PQ = \sqrt{|\overrightarrow{AP}|^{2}-|\overrightarrow{AQ}|^{2}}=$______.

答案： $\sqrt{a^{2}-(a \cdot u)^{2}}$

[微训练]
已知正方体$ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$的棱长为2，点$E$是$A_{1}B_{1}$的中点，则点$A$到直线$BE$的距离是（ ）
A. $\frac{6\sqrt{5}}{5}$ B. $\frac{4\sqrt{5}}{5}$ C. $\frac{2\sqrt{5}}{5}$ D. $\frac{\sqrt{5}}{5}$

答案： B

如图，已知平面$\alpha$的法向量为$n$，$A$是平面$\alpha$内的定点，$P$是平面$\alpha$外一点. 过点$P$作平面$\alpha$的垂线$l$，交平面$\alpha$于点$Q$，则$n$是直线$l$的方向向量，且点$P$到平面$\alpha$的距离就是$\overrightarrow{AP}$在直线$l$上的投影向量$\overrightarrow{QP}$的长度. 因此$PQ = |\overrightarrow{AP}\cdot\frac{n}{|n|}|=\frac{|\overrightarrow{AP}\cdot n|}{|n|}=$______.

答案： $\frac{|\overrightarrow{AP} \cdot n|}{|n|}$

[微训练]
1. 已知平面$\alpha$的一个法向量$n = (-2,-2,1)$，点$A(-1,3,0)$在$\alpha$内，则$P(-2,1,4)$到$\alpha$的距离为（ ）
A. 10 B. 3 C. $\frac{8}{3}$ D. $\frac{10}{3}$

答案： D

2. 在空间直角坐标系中，平面$OAB$的一个法向量为$n = (2,-1,1)$. 已知点$P(-1,3,2)$，则点$P$到平面$OAB$的距离$d$等于（ ）
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1

答案： C

知识点三　用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”
（1）建立立体图形与______的联系，用空间向量表示问题中涉及的______、______、______，把立体几何问题转化为向量问题.
（2）通过______，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间的距离和夹角等问题.
（3）把向量运算的结果“翻译”成相应的______结论.

答案：
(1)空间向量　点　直线　平面
(2)向量运算
(3)几何