《2025年新编高中同步作业高中数学选择性必修第一册人教版A》

[评价活动]
1.已知动点$M$到点$(8,0)$的距离等于点$M$到点$(2,0)$的距离的 2 倍，点$M$的轨迹方程是________.

答案： [评价活动]
1. $x^{2}+y^{2}=16$ 解析：设$M(x,y)$，则$\sqrt{(x - 8)^{2}+y^{2}}=2\sqrt{(x - 2)^{2}+y^{2}}$，整理，可得点$M$的轨迹方程为$x^{2}+y^{2}=16$.

2.已知圆$C:x^{2}+y^{2}=3$，直线$l$过点$A(-2,0)$，线段$AB$的端点$B$在圆$C$上运动，求线段$AB$的中点$M$的轨迹方程.

答案： 2. 解：设$M(x,y)$，$B(x_{0},y_{0})$，由点$M$是$AB$的中点，得$\begin{cases}x=\frac{x_{0}-2}{2},\\y=\frac{y_{0}+0}{2},\end{cases}$可得$\begin{cases}x_{0}=2x + 2,\\y_{0}=2y.\end{cases}$
又点$B$在圆$C$上运动，所以$x_{0}^{2}+y_{0}^{2}=3$，
将上式代入，可得$(2x + 2)^{2}+(2y)^{2}=3$，
化简整理，得点$M$的轨迹方程为$(x + 1)^{2}+y^{2}=\frac{3}{4}$.