《2025年新编高中同步作业高中数学选择性必修第一册人教版A》

用坐标法解决平面几何问题的“三步曲”
第一步→建立适当的 ，用坐标和方程表示问题中的 ，如点、直线、圆，把平面几何问题转化为 问题
第二步→通过代数运算，解决代数问题
第三步→把代数运算的结果“翻译”成

答案： 平面直角坐标系　几何要素　代数　几何结论

[微训练]
1. 一辆卡车宽1.6米，要经过一个半径为3.6米的半圆形隧道，则这辆卡车的平顶车篷篷顶距地面的高度不得超过（ ）
A. 1.4米
B. 3.5米
C. 3.6米
D. 2米

答案： B

2. 如图，圆弧形桥拱的跨度AB = 12米，拱高CD = 4米，则拱桥的直径为________.

答案： 13米

任务一 直线与圆的位置关系的实际应用
1. 一艘海监船上配有雷达，其监测范围是半径为26 km的圆形区域. 一艘外籍轮船从位于海监船正东40 km的A处出发，径直驶向位于海监船正北30 km的岛屿B处，船速为10 km/h. 这艘外籍轮船能被海监船监测到的时间约为多少小时？

答案：
解：根据题意，以海监船的位置为坐标原点，其正东方向为x轴正半轴，正北方向为y轴正半轴，建立如图所示的平面直角坐标系，
所以A(40，0)，B(0，30)，圆O：$x^{2}+y^{2}=676$。
记从N处开始被监测，到M处监测结束，
所以$l_{AB}:\frac{x}{40}+\frac{y}{30}=1$，即$l_{AB}:3x + 4y - 120 = 0$。
因为点O到$l_{AB}:3x + 4y - 120 = 0$的距离为$|OO'|=\frac{|-120|}{\sqrt{3^{2}+4^{2}}}=24$，
所以$|MN| = 2\sqrt{|MO|^{2}-|OO'|^{2}} = 20$，
所以监测时间持续$\frac{20}{10}=2$(小时)。

2. 如图，一座圆弧形拱桥，当水面在如图所示的位置时，拱顶离水面2米，水面宽12米. 当水面下降1米后，求水面的宽度.

答案：
解：如图，以圆弧形拱桥的顶点为原点，以过圆弧形拱桥的顶点的水平切线为x轴，以过圆弧形拱桥的顶点的竖直直线为y轴，建立平面直角坐标系。

设圆心为C，水面所在弦的端点为A，B，
则由已知可得A(6，-2)。
设圆的半径为r，
则C(0，-r)，即圆的方程为$x^{2}+(y + r)^{2}=r^{2}$。
将点A的坐标代入上述方程，可得r = 10，
所以圆的方程为$x^{2}+(y + 10)^{2}=100$。
当水面下降1米后，水面弦的端点为A'，B'，
可设A'($x_{0}$，-3)($x_{0}＞0$)。
代入$x^{2}+(y + 10)^{2}=100$，解得$x_{0}=\sqrt{51}$，
所以水面宽度$|A'B'| = 2\sqrt{51}$米。