《2025年新编高中同步作业高中数学选择性必修第一册人教版A》

知识点 两直线的交点坐标
已知两条直线$l_1:A_1x + B_1y + C_1 = 0$，$l_2:A_2x + B_2y + C_2 = 0$相交，交点为$P$，则点$P$既在直线$l_1$上，也在直线$l_2$上，所以点$P$的坐标既满足直线$l_1$的方程$A_1x + B_1y + C_1 = 0$，也满足直线$l_2$的方程$A_2x + B_2y + C_2 = 0$，即点$P$的坐标是方程组______________的解.

答案： $\begin{cases}A_{1}x + B_{1}y + C_{1} = 0,\\A_{2}x + B_{2}y + C_{2} = 0\end{cases}$

[微训练]
1. 已知直线$l_1:3x + 4y - 5 = 0$与$l_2:3x + 5y - 6 = 0$相交，则它们的交点是（ ）
A. $(-1,\frac{1}{3})$ B. $(\frac{1}{3},1)$ C. $(1,\frac{1}{3})$ D. $(-1,-\frac{1}{3})$

答案： B

2. 经过$A(-2,5)$，$B(1,-4)$两点的直线$l$与$x$轴的交点的坐标是（ ）
A. $(-\frac{1}{3},0)$ B. $(-3,0)$ C. $(\frac{1}{3},0)$ D. $(3,0)$

答案： A

3. 直线$ax + 2y + 8 = 0$，$4x + 3y = 10$和$2x - y = 10$相交于一点，则$a$的值为（ ）
A. 1 B. -1 C. 2 D. -2

答案： B

任务一 两直线的交点问题
1. 直线$3x + 2y + 6 = 0$和$2x + 5y - 7 = 0$的交点坐标为（ ）
A. $(-4,-3)$ B. $(4,3)$ C. $(-4,3)$ D. $(3,4)$

答案： C　解析:由题意，得$\begin{cases}3x + 2y + 6 = 0,\\2x + 5y - 7 = 0,\end{cases}$解得$\begin{cases}x = -4,\\y = 3.\end{cases}$

2. 已知直线$5x + 4y = 2a + 1$与直线$2x + 3y = a$的交点位于第四象限，则$a$的取值范围是________.

答案： $\left(-\frac{3}{2},2\right)$　解析:由$\begin{cases}5x + 4y = 2a + 1,\\2x + 3y = a,\end{cases}$得$\begin{cases}x = \frac{2a + 3}{7},\\y = \frac{a - 2}{7}.\end{cases}$
由$\begin{cases}\frac{2a + 3}{7} ＞ 0,\\\frac{a - 2}{7} ＜ 0,\end{cases}$得$\begin{cases}a ＞ -\frac{3}{2},\\a ＜ 2,\end{cases}$
所以$-\frac{3}{2} ＜ a ＜ 2$.

3. 若直线$l$过直线$x + y - 2 = 0$和直线$x - y + 4 = 0$的交点，且与直线$3x - 2y + 4 = 0$平行，则直线$l$的方程为____________.

答案： $3x - 2y + 9 = 0$　解析:(方法一)联立方程$\begin{cases}x + y - 2 = 0,\\x - y + 4 = 0,\end{cases}$
解得$\begin{cases}x = -1,\\y = 3,\end{cases}$即直线$l$过点$(-1,3)$.
因为直线$l$的斜率为$\frac{3}{2}$，
所以直线$l$的方程为$y - 3 = \frac{3}{2}(x + 1)$，即$3x - 2y + 9 = 0$.
(方法二)因为直线$x + y - 2 = 0$不与$3x - 2y + 4 = 0$平行，
所以设直线$l$的方程为$x - y + 4 + \lambda(x + y - 2) = 0$，
整理，得$(1 + \lambda)x + (\lambda - 1)y + 4 - 2\lambda = 0$.
因为直线$l$与直线$3x - 2y + 4 = 0$平行，
所以$\frac{1 + \lambda}{3} = \frac{\lambda - 1}{-2} \neq \frac{4 - 2\lambda}{4}$，解得$\lambda = \frac{1}{5}$，
所以直线$l$的方程为$\frac{6}{5}x - \frac{4}{5}y + \frac{18}{5} = 0$，即$3x - 2y + 9 = 0$.