《2025年新编高中同步作业高中数学选择性必修第一册人教版A》

知识点　空间角的向量求法

答案： $|\cos \langle \boldsymbol{u},\boldsymbol{v}\rangle|$ $|\cos \langle \boldsymbol{u},\boldsymbol{n}\rangle|$ $|\cos \langle \boldsymbol{n}_1,\boldsymbol{n}_2\rangle|$

[微训练]
1. 已知两平面的法向量分别为$\boldsymbol{m}=(0,1,0)$，$\boldsymbol{n}=(0,1,1)$，则两平面所成的二面角的大小为（ ）
A. $45^{\circ}$
B. $135^{\circ}$
C. $45^{\circ}$或$135^{\circ}$
D. $90^{\circ}$

答案： C

2. 如图，在正方体$ABCD - A_1B_1C_1D_1$中，$M$，$N$，$P$分别是棱$CC_1$，$BC$，$A_1B_1$上的点. 若$\angle B_1MN = 90^{\circ}$，则$\angle PMN$的大小是______.

答案： $90^{\circ}$

3. 如图，在正四棱柱$ABCD - A_1B_1C_1D_1$中，$AA_1 = 2AB = 2BC = 2$，$M$是棱$CC_1$上任意一点.
（1）求证：$AM\perp BD$；
（2）若$M$是棱$CC_1$的中点，求异面直线$AM$与$BC$所成角的余弦值.

答案：

(1)证明:以A为原点,AB,AD,AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系.
因为AA1 = 2AB = 2BC = 2，
所以A(0,0,0)，B(1,0,0)，D(0,1,0)，M(1,1,m)，0≤m≤2，
所以$\overrightarrow{AM}=(1,1,m)$，$\overrightarrow{BD}=(-1,1,0)$.
又$\overrightarrow{AM}\cdot\overrightarrow{BD}=(1,1,m)\cdot(-1,1,0)=-1 + 1 = 0$，
所以AM⊥BD.

(2)解:M是棱CC1的中点，
故C(1,1,0)，M(1,1,1)，
则$\overrightarrow{AM}=(1,1,1)$，$\overrightarrow{BC}=(0,1,0)$.
设异面直线AM与BC所成角的大小为θ，
则$\cos\theta = |\cos\langle\overrightarrow{AM},\overrightarrow{BC}\rangle| = \frac{|\overrightarrow{AM}\cdot\overrightarrow{BC}|}{|\overrightarrow{AM}|\cdot|\overrightarrow{BC}|} = \frac{|(1,1,1)\cdot(0,1,0)|}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$，
故异面直线AM与BC所成角的余弦值为$\frac{\sqrt{3}}{3}$.