《2025年新编高中同步作业高中数学选择性必修第一册人教版A》

任务三 点与圆的位置关系
1. 已知A(-1，4)，B(5，-4). 求以AB为直径的圆的标准方程，并判断C(5，1)，D(6，-3)，E(-5，1)与圆的位置关系.

答案： 解：设圆心为$O(x_0,y_0)$，半径为$r$，
由题意，得$\begin{cases}x_0 = \frac{-1 + 5}{2}\\y_0 = \frac{4 - 4}{2}\end{cases}$，解得$\begin{cases}x_0 = 2\\y_0 = 0\end{cases}$
所以圆心的坐标为$O(2,0)$。
又$r = \sqrt{(2 - 5)^2 + (0 + 4)^2} = 5$，
所以圆的标准方程为$(x - 2)^2 + y^2 = 25$。
因为$|OC|^2 = (5 - 2)^2 + (1 - 0)^2 = 10 ＜ r^2$，
所以点 C 在圆内；
因为$|OD|^2 = (6 - 2)^2 + (-3 - 0)^2 = 25 = r^2$，
所以点 D 在圆上；
因为$|OE|^2 = (-5 - 2)^2 + (1 - 0)^2 = 50 ＞ r^2$，
所以点 E 在圆外。

2. 已知圆N的标准方程为(x - 5)² + (y - 6)² = a²(a ＞ 0).
(1)若点M(6，9)在圆上，求半径a；
(2)若点P(3，3)与Q(5，3)有一点在圆内，另一点在圆外，求a的取值范围.

答案： 解：
(1)因为点$M(6,9)$在圆上，所以$(6 - 5)^2 + (9 - 6)^2 = a^2$，即$a^2 = 10$。又$a＞0$，所以$a = \sqrt{10}$。
(2)因为$|PN| = \sqrt{(3 - 5)^2 + (3 - 6)^2} = \sqrt{13}$，$|QN| = \sqrt{(5 - 5)^2 + (3 - 6)^2} = 3$，$|PN| ＞ |QN|$，所以点 P 在圆外，点 Q 在圆内，所以$3 ＜ a ＜ \sqrt{13}$。

3. 判断A(0，5)，B(1，-2)，C(-3，-4)，D(-7，-2)四点是否共圆.

答案： 解：易知点 A，B，C 不共线，设 A，B，C 三点确定的圆的标准方程为$(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2(r ＞ 0)$。
把$A(0,5)$，$B(1,-2)$，$C(-3,-4)$代入，
得$\begin{cases}(0 - a)^2 + (5 - b)^2 = r^2\\(1 - a)^2 + (-2 - b)^2 = r^2\\(-3 - a)^2 + (-4 - b)^2 = r^2\end{cases}$，解得$\begin{cases}a = -3\\b = 1\\r^2 = 25\end{cases}$
所以 A，B，C 三点确定的圆的标准方程为$(x + 3)^2 + (y - 1)^2 = 25$。
把$(-7,-2)$代入上述圆的标准方程，方程成立，
所以点 D 在圆上。
故 A，B，C，D 四点共圆。