《2025年新编高中同步作业高中数学选择性必修第一册人教版A》

任务三 求动点的轨迹方程
[探究活动]
探究 1：已知$Rt\triangle ABC$的斜边为$AB$，且$A(-1,0)$，$B(3,0)$，
（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，你能得出一个关于直角顶点$C$的结论吗？
（2）顶点$C$的轨迹是一个完整的圆吗？你能求出顶点$C$的轨迹方程吗？

答案： [探究活动]
探究 1 提示：
(1)点$C$到$AB$中点的距离为定长 2，因此顶点$C$的轨迹是一个圆.
(2)不是，是除去$x$轴上两点的圆.
设$AB$的中点为$D$. 由中点坐标公式，得$D(1,0)$，由直角三角形的性质知，$\vert CD\vert=\frac{1}{2}\vert AB\vert = 2$. 由圆的定义知，动点$C$的轨迹是以$D(1,0)$为圆心，以 2 为半径的圆(由于$A$，$B$，$C$三点不共线，所以应除去与$x$轴的交点). 设$C(x,y)$，则直角顶点$C$的轨迹方程为$(x - 1)^{2}+y^{2}=4(x\neq3$且$x\neq - 1)$.

探究 2：已知圆心为$C$的圆经过点$A(1,1)$和$B(2,-2)$，且圆心$C$在直线$l:x - y + 1 = 0$上.
（1）求圆$C$的方程；
（2）线段$PQ$的端点$P$的坐标是$(5,0)$，端点$Q$在圆$C$上运动，求线段$PQ$的中点$M$的轨迹方程.

答案： 探究 2 提示：
(1)设点$D$为线段$AB$的中点，直线$m$为线段$AB$的垂直平分线，
则$D(\frac{3}{2}, -\frac{1}{2})$.
因为$k_{AB}=-3$，
所以$k_{m}=\frac{1}{3}$，
所以直线$m$的方程为$x - 3y - 3 = 0$.
由$\begin{cases}x - 3y - 3 = 0,\\x - y+1 = 0,\end{cases}$得圆心$C(-3, -2)$，
则半径$r=\vert CA\vert=\sqrt{(-3 - 1)^{2}+(-2 - 1)^{2}} = 5$，
所以圆$C$的方程为$(x + 3)^{2}+(y + 2)^{2}=25$.
(2)设点$M(x,y)$，$Q(x_{0},y_{0})$.
因为点$P$的坐标为$(5,0)$，
所以$\begin{cases}x=\frac{x_{0}+5}{2},\\y=\frac{y_{0}+0}{2},\end{cases}$即$\begin{cases}x_{0}=2x - 5,\\y_{0}=2y.\end{cases}$
又点$Q(x_{0},y_{0})$在圆$C:(x + 3)^{2}+(y + 2)^{2}=25$上运动，
所以$(x_{0}+3)^{2}+(y_{0}+2)^{2}=25$，即$(2x - 5 + 3)^{2}+(2y + 2)^{2}=25$，
整理，得$(x - 1)^{2}+(y + 1)^{2}=\frac{25}{4}$，即所求线段$PQ$的中点$M$的轨迹方程为$(x - 1)^{2}+(y + 1)^{2}=\frac{25}{4}$.