《2025年新编高中同步作业高中数学选择性必修第一册人教版A》

问题1 直线与圆有哪些位置关系？怎样判断？

答案： 提示：直线$Ax + By + C = 0$与圆$(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$的位置关系的判断：
|位置关系|相交|相切|相离|
|--|--|--|--|
|公共点个数|2个|1个|0个|
|几何法：设圆心到直线的距离$d = \frac{\vert Aa + Bb + C\vert}{\sqrt{A^2 + B^2}}$|$d ＜ r$|$d = r$|$d ＞ r$|
|代数法：由$\begin{cases}Ax + By + C = 0 \\ (x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2 \end{cases}$消元，得到一元二次方程的判别式$\Delta$|$\Delta ＞ 0$|$\Delta = 0$|$\Delta ＜ 0$|

问题2 当直线与圆相交时，怎样求弦的长度？

答案： 提示：若弦心距为$d$，圆的半径长为$r$，则弦长$l = 2\sqrt{r^2 - d^2}$.

问题3 圆与圆有哪些位置关系？怎样判断？

答案： 提示：
|位置关系|几何法：圆心距$d$与$r_1$，$r_2$的关系|代数法：联立两圆方程组成方程组的解的情况|
|--|--|--|
|外离|$d ＞ r_1 + r_2$|没有实数解|
|外切|$d = r_1 + r_2$|一组实数解|
|相交|$\vert r_1 - r_2\vert ＜ d ＜ r_1 + r_2$|两组不同的实数解|
|内切|$d = \vert r_1 - r_2\vert(r_1 \neq r_2)$|一组实数解|
|内含|$0\leq d ＜ \vert r_1 - r_2\vert(r_1 \neq r_2)$|没有实数解|

已知圆C的圆心在直线l1:2x - y = 0上，且圆C与x轴相切，直线l2:3x - 4y = 0被圆C截得的弦长为$2\sqrt{3}，$求圆C的一般方程.

答案： 解：设圆心为$(b,2b)$，
则半径$r = \vert 2b\vert$.
设圆心到直线$l_2$的距离为$d$，
则$d = \frac{\vert 3b - 8b\vert}{5} = \vert b\vert$，
所以$(\sqrt{3})^2 = r^2 - d^2$，即$4b^2 - b^2 = 3$，解得$b = \pm 1$，
所以圆心为$(1,2)$或$(-1,-2)$，半径$r = 2$，
所以圆$C$的标准方程为$(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 4$或$(x + 1)^2 + (y + 2)^2 = 4$，
故圆$C$的一般方程为$x^2 + y^2 - 2x - 4y + 1 = 0$或$x^2 + y^2 + 2x + 4y + 1 = 0$.