《2025年新编高中同步作业高中数学选择性必修第一册人教版A》

1. 经过点$(0,-2)$，且在两坐标轴上的截距和为2的直线方程是（ ）
A. $\frac{x}{2} + \frac{y}{-2} = 1$
B. $\frac{x}{-2} + \frac{y}{2} = 1$
C. $\frac{x}{4} + \frac{y}{2} = 1$
D. $\frac{x}{4} - \frac{y}{2} = 1$

答案： D　解析:依题意可设$\frac{x}{a} + \frac{y}{2 - a} = 1$，把$(0,-2)$代入方程，可得$a = 4$，所以直线方程为$\frac{x}{4} - \frac{y}{2} = 1$。

2. 已知直线$l$经过点$P(4,3)$，且在两坐标轴上的截距相等，求直线$l$的方程.

答案： 解:(方法一)当直线l过原点时，它在两坐标轴上的截距都是0，设直线方程为$y = kx$。
因为过点$P(4,3)$，
所以$3 = 4k$，解得$k = \frac{3}{4}$，
所以直线方程为$y = \frac{3}{4}x$，即$3x - 4y = 0$。
当直线l不过原点时，设直线的截距式方程为$\frac{x}{a} + \frac{y}{a} = 1(a \neq 0)$。
因为直线过点$P(4,3)$，
所以$\frac{4}{a} + \frac{3}{a} = 1$，解得$a = 7$，
所以直线方程为$\frac{x}{7} + \frac{y}{7} = 1$，即$x + y - 7 = 0$。
综上，直线l的方程为$x + y - 7 = 0$或$3x - 4y = 0$。
(方法二)设直线l的斜率为k，
则$y - 3 = k(x - 4)$，
令$x = 0$，得$y = 3 - 4k$；令$y = 0$，得$x = 4 - \frac{3}{k}$。
由直线在两坐标轴上的截距相等，
得$3 - 4k = 4 - \frac{3}{k}$，解得$k = -1$或$k = \frac{3}{4}$，
所以直线方程为$y - 3 = -(x - 4)$或$y - 3 = \frac{3}{4}(x - 4)$，即直线l的方程为$x + y - 7 = 0$或$3x - 4y = 0$。

一条光线从点$A(3,2)$发出，经$x$轴反射，通过点$B(-1,6)$.
探究1：怎样求入射光线所在的直线方程？
探究2：入射光线与反射光线所在直线的斜率有什么关系？你能用几种方法求反射光线所在的直线方程？

答案： 探究1　提示:先求点B关于x轴的对称点$B'$，由两点的坐标代入可得入射光线$AB'$的直线方程。
探究2　提示:互为相反数，2种。

已知直线$l$与$x$轴、$y$轴分别交于点$A$，$B$，且线段$AB$的中点为$P(4,1)$，求直线$l$的方程.

答案： 解:设点$A(x,0),B(0,y)$。
因为线段AB的中点为$P(4,1)$，
所以$\begin{cases}\frac{x + 0}{2} = 4 \\ \frac{0 + y}{2} = 1\end{cases}$，解得$\begin{cases}x = 8 \\ y = 2\end{cases}$，
所以点A的坐标为$(8,0)$，点B的坐标为$(0,2)$，
由直线方程的截距式，可得直线l的方程为$\frac{x}{8} + \frac{y}{2} = 1$，即$x + 4y - 8 = 0$。