《2025年新编高中同步作业高中数学选择性必修第一册人教版A》

知识点一　直线与直线平行
如图，设$\boldsymbol{u}_{1}$，$\boldsymbol{u}_{2}$分别是直线$l_{1}$，$l_{2}$的方向向量，则$l_{1}// l_{2}\Leftrightarrow$__________$\Leftrightarrow\exists\lambda\in\mathbf{R}$，使得$\boldsymbol{u}_{1}=$__________.
　　　　　　

答案： $u_1 // u_2$ $\lambda u_2$

知识点二　直线与平面平行
如图，设$\boldsymbol{u}$是直线$l$的方向向量，$\boldsymbol{n}$是平面$\alpha$的法向量，$l\not\subset\alpha$，则$l//\alpha\Leftrightarrow$__________$\Leftrightarrow\boldsymbol{u}\cdot\boldsymbol{n}=$__________.
　　　　　　

答案： $u \perp n$ $0$

知识点三　平面与平面平行
如图，设$\boldsymbol{n}_{1}$，$\boldsymbol{n}_{2}$分别是平面$\alpha$，$\beta$的法向量，则$\alpha//\beta\Leftrightarrow$__________$\Leftrightarrow\exists\lambda\in\mathbf{R}$，使得$\boldsymbol{n}_{1}=$__________.
　　　　　　

答案： $n_1 // n_2$ $\lambda n_2$

[微训练]
1. 已知两个不重合的平面$\alpha$，$\beta$的法向量分别为$\boldsymbol{u}_{1}=(1, -1, 1)$，$\boldsymbol{u}_{2}=(-4, 4, -4)$，则平面$\alpha$，$\beta$的位置关系为________.
2. 若直线$l$的方向向量$\boldsymbol{a}=(2, 2, -2)$，平面$\alpha$的法向量$\boldsymbol{\mu}=(-6, 8, 2)$，则直线$l$与平面$\alpha$的位置关系是________.

答案： 1. $\alpha // \beta$ 2. $l \subset \alpha$ 或 $l // \alpha$

1. 已知$\boldsymbol{n}$为平面$\alpha$的一个法向量，$l$为一条直线，则“$l\perp\boldsymbol{n}$”是“$l//\alpha$”的（ ）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件

答案： 1. B 解析：当“$l \perp n$”时，由于 $l$ 可能在平面 $\alpha$ 内，所以无法推出“$l // \alpha$”；当“$l // \alpha$”时，必有“$l \perp n$”。综上所述，“$l \perp n$”是“$l // \alpha$”的必要不充分条件。故选 B。

2. 若$\alpha$，$\beta$表示不同的平面，平面$\alpha$的一个法向量$\boldsymbol{v}_{1}=(1, 2, 1)$，平面$\beta$的一个法向量$\boldsymbol{v}_{2}=(-2, -4, -2)$，则平面$\alpha$与平面$\beta$（ ）
A. 平行
B. 垂直
C. 相交
D. 不能确定

答案： 2. A 解析：因为平面 $\alpha$ 的一个法向量 $v_1 = (1,2,1)$，平面 $\beta$ 的一个法向量 $v_2 = - (2,4,2)$，所以 $v_2 = - 2v_1$，所以 $v_1 // v_2$。因为 $\alpha$，$\beta$ 表示不同的平面，所以 $\alpha // \beta$。故选 A。