《2025年新编高中同步作业高中数学选择性必修第一册人教版A》

1.若方程$x^{2}+y^{2}+ax + 2ay+\frac{5}{4}a^{2}+a - 1 = 0$表示圆，则实数$a$的取值范围是( )
A.$a＜1$
B.$a＞1$
C.$-2＜a＜\frac{2}{3}$
D.$-2＜a＜0$

答案： A 解析：当$a^{2}+4a^{2}-4(\frac{5}{4}a^{2}+a - 1)＞0$时，表示圆的方程，化简得$-a + 1＞0$，解得$a＜1$. 故选 A.

2.已知$a\in\mathbf{R}$，方程$a^{2}x^{2}+(a + 2)y^{2}+4x + 8y + 5a = 0$表示圆，则圆心坐标为________，半径为________.

答案： $(-2, -4)$ 5 解析：由二元二次方程表示圆的条件，可得$a^{2}=a + 2$，解得$a = 2$或$-1$. 当$a = 2$时，方程为$4x^{2}+4y^{2}+4x + 8y + 10 = 0$，即$x^{2}+y^{2}+x + 2y+\frac{5}{2}=0$，配方，得$(x+\frac{1}{2})^{2}+(y + 1)^{2}=-\frac{5}{4}＜0$，不表示圆；当$a=-1$时，方程为$x^{2}+y^{2}+4x + 8y - 5 = 0$，配方，得$(x + 2)^{2}+(y + 4)^{2}=25$，则圆心坐标为$(-2, -4)$，半径为 5.

3.判断下列方程分别表示什么图形.
(1)$x^{2}+y^{2}+2x + 2y + 2 = 0$；
(2)$x^{2}+y^{2}-2x + 4y - 6 = 0$；
(3)$x^{2}+y^{2}-2ax - b^{2}=0$；
(4)$3x^{2}+3y^{2}-2x + 4y - 6 = 0$.

答案： 解：
(1)(方法一：配方法)原方程等价于$(x + 1)^{2}+(y + 1)^{2}=0$，因此方程表示点$(-1, -1)$.
(方法二：公式法)因为$D^{2}+E^{2}-4F=2^{2}+2^{2}-4×2 = 0$，所以方程表示点$(-\frac{D}{2}, -\frac{E}{2})$，即$(-1, -1)$.
(2)原方程等价于$(x - 1)^{2}+(y + 2)^{2}=(\sqrt{11})^{2}$，因此方程表示圆心为$(1, -2)$，半径为$\sqrt{11}$的圆.
(3)因为$D^{2}+E^{2}-4F=4a^{2}+4b^{2}\geqslant0$，所以当$a = b = 0$时，方程表示原点；当$a,b$不全为 0 时，方程表示以$(a,0)$为圆心，$\sqrt{a^{2}+b^{2}}$为半径的圆.
(4)原方程等价于$x^{2}+y^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{4}{3}y - 2 = 0$，配方，得$(x-\frac{1}{3})^{2}+(y+\frac{2}{3})^{2}=(\frac{\sqrt{23}}{3})^{2}$，因此方程表示圆心为$(\frac{1}{3}, -\frac{2}{3})$，半径为$\frac{\sqrt{23}}{3}$的圆.

1.圆$C$过点$A(1,2)$，$B(3,4)$，且在$x$轴上截得的弦长为 6，求圆$C$的一般方程.

答案： 1. 解：设圆$C$的方程为$x^{2}+y^{2}+Dx + Ey+F = 0$.
因为圆$C$过点$A(1,2)$，$B(3,4)$，
所以$D + 2E+F=-5$，①$3D + 4E+F=-25$. ②
令$y = 0$，得$x^{2}+Dx + F = 0$.
设圆$C$与$x$轴的两个交点的横坐标为$x_{1},x_{2}$，
则$x_{1}+x_{2}=-D$，$x_{1}x_{2}=F$.
因为$\vert x_{1}-x_{2}\vert = 6$，
所以$(x_{1}+x_{2})^{2}-4x_{1}x_{2}=36$，即$D^{2}-4F = 36$. ③
由①②③，得$D = 12$，$E=-22$，$F = 27$，或$D=-8$，$E=-2$，$F = 7$，
故圆$C$的一般方程为$x^{2}+y^{2}+12x - 22y + 27 = 0$，或$x^{2}+y^{2}-8x - 2y + 7 = 0$.

2.已知$\triangle ABC$的三个顶点为$A(1,4)$，$B(-2,3)$，$C(4,-5)$，求$\triangle ABC$的外接圆方程、圆心坐标和外接圆半径.
[类题通法]
求圆的方程时，如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心坐标或半径列方程，一般采用圆的标准方程，再用待定系数法求出$a$，$b$，$r$；如果已知条件与圆心和半径都无直接关系，一般采用圆的一般方程，再用待定系数法求出$D$，$E$，$F$.

答案： 2. 解：设$\triangle ABC$的外接圆方程为$x^{2}+y^{2}+Dx + Ey+F = 0$.
因为点$A$，$B$，$C$在圆上，
所以$\begin{cases}1 + 16+D + 4E+F = 0,\\4 + 9-2D + 3E+F = 0,\\16 + 25+4D - 5E+F = 0,\end{cases}$
解得$\begin{cases}D=-2,\\E = 2,\\F=-23,\end{cases}$
所以$\triangle ABC$的外接圆方程为$x^{2}+y^{2}-2x + 2y - 23 = 0$，即$(x - 1)^{2}+(y + 1)^{2}=25$.
所以圆心坐标为$(1, -1)$，外接圆半径为 5.