《2025年新编高中同步作业高中数学选择性必修第一册人教版A》

任务三 利用空间向量证明面面垂直
1. 如图，已知四棱锥$P - ABCD$的底面是直角梯形，$\angle ABC = \angle BCD = 90^{\circ}$，$AB = BC = PB = PC = 2CD$，侧面$PBC \perp$底面$ABCD$. 证明：(1)$PA \perp BD$；(2)平面$PAD \perp$平面$PAB$.
　　　　　　　　　　　　

答案：
证明：
(1) 取 $BC$ 的中点 $O$，连接 $PO$。
因为侧面 $PBC \perp$ 底面 $ABCD$，$\triangle PBC$ 为等边三角形，
所以 $PO \perp$ 底面 $ABCD$。
以 $BC$ 的中点 $O$ 为坐标原点，以 $BC$ 所在直线为 $x$ 轴，过点 $O$ 与 $AB$ 平行的直线为 $y$ 轴，$OP$ 所在直线为 $z$ 轴，建立空间直角坐标系，如图所示。

不妨设 $CD = 1$，
则 $AB = BC = PB = PC = 2$，
所以 $PO=\sqrt{3}$，
所以 $A(1,-2,0)$，$B(1,0,0)$，$D(-1,-1,0)$，$P(0,0,\sqrt{3})$，
所以 $\overrightarrow{BD}=(-2,-1,0)$，$\overrightarrow{PA}=(1,-2,-\sqrt{3})$。
因为 $\overrightarrow{BD} \cdot \overrightarrow{PA}=(-2) \times 1+(-1) \times(-2)+0 \times(-\sqrt{3})=0$，
所以 $\overrightarrow{PA} \perp \overrightarrow{BD}$，即 $PA \perp BD$。
(2) 取 $PA$ 的中点 $M$，连接 $DM$，
则 $M(\frac{1}{2},-1,\frac{\sqrt{3}}{2})$。
因为 $\overrightarrow{DM}=(\frac{3}{2},0,\frac{\sqrt{3}}{2})$，$\overrightarrow{PB}=(1,0,-\sqrt{3})$，
所以 $\overrightarrow{DM} \cdot \overrightarrow{PB}=\frac{3}{2} \times 1+0 \times 0+\frac{\sqrt{3}}{2} \times(-\sqrt{3})=0$，
所以 $\overrightarrow{DM} \perp \overrightarrow{PB}$，即 $DM \perp PB$。
因为 $\overrightarrow{DM} \cdot \overrightarrow{PA}=\frac{3}{2} \times 1+0 \times(-2)+\frac{\sqrt{3}}{2} \times(-\sqrt{3})=0$，
所以 $\overrightarrow{DM} \perp \overrightarrow{PA}$，即 $DM \perp PA$。
又 $PA \cap PB = P$，$PA \subset$ 平面 $PAB$，$PB \subset$ 平面 $PAB$，
所以 $DM \perp$ 平面 $PAB$。
因为 $DM \subset$ 平面 $PAD$，
所以平面 $PAD \perp$ 平面 $PAB$。

2. 在正方体$ABCD - A_1B_1C_1D_1$中，$E$为棱$CC_1$上的动点. 若平面$A_1BD \perp$平面$EBD$，试确定点$E$的位置.

答案：
解：点 $E$ 为 $CC_1$ 的中点。
证明如下：
设底面 $ABCD$ 的中心为 $O$，正方体边长为 $a$，连接 $A_1O$，$OE$。以 $D$ 为原点，$DA$，$DC$，$DD_1$ 所在直线分别为 $x$ 轴、$y$ 轴、$z$ 轴建立如图所示空间直角坐标系，

则 $O(\frac{a}{2},\frac{a}{2},0)$，$B(a,a,0)$，$A_1(a,0,a)$，$E(0,a,e)(0 \leqslant e \leqslant a)$，
则 $\overrightarrow{OE}=(-\frac{a}{2},\frac{a}{2},e)$，$\overrightarrow{OA_1}=(\frac{a}{2},-\frac{a}{2},a)$。
易知 $A_1O \perp BD$。
又平面 $A_1BD \perp$ 平面 $EBD$，
所以 $A_1O \perp$ 平面 $EBD$，
所以 $A_1O \perp OE$。
又 $\overrightarrow{BD}=(-a,-a,0)$，
则 $\overrightarrow{OA_1} \cdot \overrightarrow{BD}=0$，$\overrightarrow{OA_1} \cdot \overrightarrow{OE}=0$，
即 $\begin{cases} -\frac{a^2}{2}+\frac{a^2}{2}=0, \\ -\frac{a^2}{4}-\frac{a^2}{4}+ae=0, \end{cases}$ 解得 $e=\frac{a}{2}$。
所以当 $E$ 为 $CC_1$ 的中点时，能使平面 $A_1BD \perp$ 平面 $EBD$。