《2025年新编高中同步作业高中数学选择性必修第一册人教版A》

任务二 判断直线的位置关系并求交点坐标
判断下列各对直线的位置关系. 若相交，求出交点坐标.
(1)$l_1:2x - y = 7$和$l_2:3x + 2y - 7 = 0$；
(2)$l_1:2x - 6y + 4 = 0$和$l_2:4x - 12y + 8 = 0$；
(3)$l_1:4x + 2y + 4 = 0$和$l_2:y = -2x + 3$.

答案： 解:
(1)解方程组$\begin{cases}2x - y - 7 = 0,\\3x + 2y - 7 = 0,\end{cases}$得$\begin{cases}x = 3,\\y = -1,\end{cases}$因此直线$l_{1}$和$l_{2}$相交，交点坐标为$(3,-1)$.
(2)方程组$\begin{cases}2x - 6y + 4 = 0,\\4x - 12y + 8 = 0\end{cases}$有无数个解，这表明直线$l_{1}$和$l_{2}$重合.
(3)方程组$\begin{cases}4x + 2y + 4 = 0,\\y = -2x + 3\end{cases}$无解，这表明直线$l_{1}$和$l_{2}$没有公共点，故$l_{1}// l_{2}$.

任务三 直线过定点问题
[探究活动]
探究1：已知直线方程$(a - 1)x - y + 2a + 1 = 0(a\in R)$，
(1)$a$的值取$0$，$1$，$-1$得到的直线方程分别是什么?
(2)通过作图、求交点等方法，可以得出三条直线有什么共同的特征?

答案： 探究1　提示:
(1)分别为$x + y - 1 = 0$，$y = 3$，$2x + y + 1 = 0$.
(2)恒过定点$(-2,3)$.

探究2：求证：不论$m$取何实数，直线$(3m + 1)x - (2m - 1)y + 3m - 1 = 0$都过一个定点，并求这个定点的坐标.

答案： 探究2　提示:(方法一)令$m = 0$，得$x + y - 1 = 0$，①
令$m = 1$，得$4x - y + 2 = 0$.②
将①②联立，得$\begin{cases}x + y - 1 = 0,\\4x - y + 2 = 0,\end{cases}$
解得$\begin{cases}x = -\frac{1}{5},\\y = \frac{6}{5}.\end{cases}$
把$x = -\frac{1}{5}$，$y = \frac{6}{5}$代入$(3m + 1)x - (2m - 1)y + 3m - 1 = 0$，
得$(3m + 1)\times\left(-\frac{1}{5}\right) - \frac{6}{5}(2m - 1) + 3m - 1 = 0$，
所以直线$(3m + 1)x - (2m - 1)y + 3m - 1 = 0$均过定点$\left(-\frac{1}{5},\frac{6}{5}\right)$.
(方法二)方程可化为$(x + y - 1) + m(3x - 2y + 3) = 0$.
由$m$的任意性可知，$\begin{cases}x + y - 1 = 0,\\3x - 2y + 3 = 0,\end{cases}$
解得$\begin{cases}x = -\frac{1}{5},\\y = \frac{6}{5},\end{cases}$
所以不论$m$为何实数，直线都过定点$\left(-\frac{1}{5},\frac{6}{5}\right)$.

[评价活动]
1. 直线$l:(a + 2)x + (1 - a)y - 3 = 0$，当$a$变动时，所有直线都通过定点（ ）
A. $(0,0)$ B. $(0,1)$ C. $(-2,1)$ D. $(1,1)$

答案： D　解析:直线$l:(a + 2)x + (1 - a)y - 3 = 0$，即$a(x - y) + 2x + y - 3 = 0$，当$a$变动时，所有直线都通过$x - y = 0$与$2x + y - 3 = 0$的交点$(1,1)$.

2. 若不论$m$取何实数，直线$l:mx + y - 1 + 2m = 0$恒过一定点，则该定点的坐标是________.

答案： $(-2,1)$　解析:直线$l:mx + y - 1 + 2m = 0$可化为$m(x + 2) + (y - 1) = 0$，由题意，可得$\begin{cases}x + 2 = 0,\\y - 1 = 0,\end{cases}$所以$x = -2$，$y = 1$，所以直线$l:mx + y - 1 + 2m = 0$恒过一定点$(-2,1)$.