《2025年新编高中同步作业高中数学选择性必修第一册人教版A》

知识点　两条平行直线间的距离
1. 概念：夹在两条平行直线间的________的长就是这两条平行直线间的距离.

答案： 公垂线段

2. 求法：将两条平行直线间的距离转化为点到________的距离.

答案： 直线

3. 公式：两条平行直线$l_1:Ax + By + C_1 = 0$与$l_2:Ax + By + C_2 = 0$间的距离为$d =$________.

答案： $\frac{\vert C_{1}-C_{2}\vert}{\sqrt{A^{2}+B^{2}}}$

1. 两条平行直线$x + y + 2 = 0$与$x + y - 3 = 0$的距离为（ ）
A. $5\sqrt{2}$
B. $\frac{5\sqrt{2}}{2}$
C. $\sqrt{2}$
D. $3\sqrt{2}$

答案： B

2. 直线$l_1:5x + 12y + 3 = 0$与$l_2:10x + 24y - 7 = 0$间的距离为______.

答案： $\frac{1}{2}$

1. 两条平行直线$y = \frac{3}{2}x$与$6x - 4y + 13 = 0$间的距离为（ ）
A. $\sqrt{13}$
B. $\frac{\sqrt{13}}{2}$
C. $\frac{\sqrt{13}}{3}$
D. 13

答案： B 解析：直线$y = \frac{3}{2}x$转化为$6x - 4y = 0$，则两条平行直线间的距离$d = \frac{13}{\sqrt{4^{2}+6^{2}}} = \frac{\sqrt{13}}{2}$。

2. 设两条直线的方程分别为$x + y - a = 0,x + y + b = 0$. 已知$a,b$是关于$x$的方程$x^2 + x + c = 0$的两个实数根，则这两条直线间的距离是（ ）
A. $\frac{\sqrt{2}}{4}$
B. $\sqrt{2}$
C. $\frac{\sqrt{2}}{2}$
D. 无法确定

答案： C 解析：$a$，$b$是关于$x$的方程$x^{2}+x + c = 0$的两个实数根，所以$\Delta = 1 - 4c\geq0$，$a + b = -1$，则这两条直线间的距离$d = \frac{\vert a + b\vert}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$。

3. 求两条平行直线$l_1:3x + 4y = 10$与$l_2:6x + 8y = 15$间的距离.

答案：
解：（方法一）在$l_{1}$上任取一点$A(2,1)$，则点$A$到$l_{2}$的距离即为$l_{1}$与$l_{2}$间的距离。又$l_{2}$可化为$6x + 8y - 15 = 0$，所以$d = \frac{\vert 2\times6 + 8 - 15\vert}{\sqrt{6^{2}+8^{2}}} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$。
（方法二）$l_{1}$可化为$3x + 4y - 10 = 0$，$l_{2}$可化为$3x + 4y - \frac{15}{2} = 0$,所以$l_{1}$与$l_{2}$间的距离$d = \frac{\vert -10 - (-\frac{15}{2})\vert}{\sqrt{3^{2}+4^{2}}} = \frac{\frac{5}{2}}{5} = \frac{1}{2}$。