《2025年新编高中同步作业高中数学选择性必修第一册人教版A》

探究1：在正方体$ABCD - A_1B_1C_1D_1$中，$E$为棱$CC_1$上的动点. 试证明：$A_1E \perp BD$.

答案：
探究 1 提示：分别以 $DA$，$DC$，$DD_1$ 所在直线为 $x$ 轴、$y$ 轴、$z$ 轴建立如图所示的空间直角坐标系。

设正方体棱长为 $a$，
依题意，可得 $A(a,0,0)$，$B(a,a,0)$，$C(0,a,0)$，$D(0,0,0)$，$A_1(a,0,a)$，$C_1(0,a,a)$。
设 $E(0,a,e)(0 \leqslant e \leqslant a)$，
则 $\overrightarrow{A_1E}=(-a,a,e - a)$。
又 $\overrightarrow{BD}=(-a,-a,0)$，
所以 $\overrightarrow{A_1E} \cdot \overrightarrow{BD}=a^2 - a^2=0$，
所以 $\overrightarrow{A_1E} \perp \overrightarrow{BD}$，即 $A_1E \perp BD$。

探究2：如图，正三棱柱$ABC - A_1B_1C_1$的所有棱长都为$2$，$D$为$CC_1$的中点. 试证明：$AB_1 \perp$平面$A_1BD$.
　　　　　　　　　　　　

答案：
探究 2 提示：（方法一）如图所示，取 $BC$ 的中点 $O$，连接 $AO$。

因为 $\triangle ABC$ 为正三角形，
所以 $AO \perp BC$。
因为在正三棱柱 $ABC - A_1B_1C_1$ 中，平面 $ABC \perp$ 平面 $BCC_1B_1$，
所以 $AO \perp$ 平面 $BCC_1B_1$。
取 $B_1C_1$ 的中点 $O_1$，以 $O$ 为原点，以 $\overrightarrow{OB}$，$\overrightarrow{OO_1}$，$\overrightarrow{OA}$ 分别为 $x$ 轴、$y$ 轴、$z$ 轴的正方向建立空间直角坐标系，
则 $B(1,0,0)$，$D(-1,1,0)$，$A_1(0,2,\sqrt{3})$，$A(0,0,\sqrt{3})$，$B_1(1,2,0)$，
所以 $\overrightarrow{AB_1}=(1,2,-\sqrt{3})$，$\overrightarrow{BA_1}=(-1,2,\sqrt{3})$，$\overrightarrow{BD}=(-2,1,0)$。
因为 $\overrightarrow{AB_1} \cdot \overrightarrow{BA_1}=1 \times(-1)+2 \times 2+(-\sqrt{3}) \times\sqrt{3}=0$，
$\overrightarrow{AB_1} \cdot \overrightarrow{BD}=1 \times(-2)+2 \times 1+(-\sqrt{3}) \times0=0$，
所以 $\overrightarrow{AB_1} \perp \overrightarrow{BA_1}$，$\overrightarrow{AB_1} \perp \overrightarrow{BD}$，即 $AB_1 \perp BA_1$，$AB_1 \perp BD$。
又 $BA_1 \cap BD = B$，$BA_1 \subset$ 平面 $A_1BD$，$BD \subset$ 平面 $A_1BD$，
所以 $AB_1 \perp$ 平面 $A_1BD$。
（方法二）建系同方法一。
设平面 $A_1BD$ 的法向量为 $\boldsymbol{n}=(x,y,z)$，
则 $\begin{cases} \boldsymbol{n} \perp \overrightarrow{BA_1}, \\ \boldsymbol{n} \perp \overrightarrow{BD}, \end{cases}$
即 $\begin{cases} \boldsymbol{n} \cdot \overrightarrow{BA_1}=-x + 2y+\sqrt{3}z=0, \\ \boldsymbol{n} \cdot \overrightarrow{BD}=-2x + y=0, \end{cases}$
令 $x = 1$，则平面 $A_1BD$ 的一个法向量为 $\boldsymbol{n}=(1,2,-\sqrt{3})$。
又 $\overrightarrow{AB_1}=(1,2,-\sqrt{3})$，
所以 $\boldsymbol{n}=\overrightarrow{AB_1}$，即 $\overrightarrow{AB_1} // \boldsymbol{n}$，
所以 $AB_1 \perp$ 平面 $A_1BD$。

[评价活动]
1. 如图，$PA \perp$平面$ABCD$，四边形$ABCD$为正方形，$E$为$CD$的中点，$F$是$AD$上一点，当$BF \perp PE$时，$\frac{AF}{FD}$等于（ ）
A. $\frac{1}{2}$
B. $1$
C. $2$
D. $3$
　　　　　　

答案：
B 解析：建立如图所示的空间直角坐标系，设正方形 $ABCD$ 的边长为 $1$，$PA = a$，

设 $F(0,y,0)$，则 $\overrightarrow{BF}=(-1,y,0)$，$\overrightarrow{PE}=(\frac{1}{2},1,-a)$。
因为 $BF \perp PE$，所以 $\overrightarrow{BF} \cdot \overrightarrow{PE}=(-1) \times \frac{1}{2}+y \times 1+0 \times(-a)=0$，解得 $y=\frac{1}{2}$，
即 $F(0,\frac{1}{2},0)$，由此可知，$F$ 是 $AD$ 的中点，故 $\frac{AF}{FD}=1$。故选 B。

2. 如图，在长方体$ABCD - A_1B_1C_1D_1$中，$AB = AD = 1$，$AA_1 = 2$，点$P$为$DD_1$的中点. 求证：直线$PB_1 \perp$平面$PAC$.
　　　　　　　　　　　　　

答案：
证明：如图，以 $D$ 为原点，$DC$，$DA$，$DD_1$ 所在直线分别为 $x$ 轴、$y$ 轴、$z$ 轴，建立空间直角坐标系 $Dxyz$，
则 $C(1,0,0)$，$P(0,0,1)$，$A(0,1,0)$，$B_1(1,1,2)$，

于是 $\overrightarrow{CA}=(-1,1,0)$，$\overrightarrow{CP}=(-1,0,1)$，$\overrightarrow{PB_1}=(1,1,1)$，
所以 $\overrightarrow{CA} \cdot \overrightarrow{PB_1}=(-1,1,0) \cdot (1,1,1)=0$，
$\overrightarrow{CP} \cdot \overrightarrow{PB_1}=(-1,0,1) \cdot (1,1,1)=0$，
故 $\overrightarrow{CP} \perp \overrightarrow{PB_1}$，$\overrightarrow{CA} \perp \overrightarrow{PB_1}$，即 $PB_1 \perp CP$，$PB_1 \perp CA$。
又 $CP \cap CA = C$，且 $CP \subset$ 平面 $PAC$，$CA \subset$ 平面 $PAC$，
故直线 $PB_1 \perp$ 平面 $PAC$。