《2025年新编高中同步作业高中数学选择性必修第一册人教版A》

1. 已知经过点$A(3,n)$，$B(5,m)$的直线$l_1$与经过点$P(-m,0)$，$Q(0,n^2)(mn \neq 0)$的直线$l_2$平行，则$\frac{m}{n}$的值为（ ）
A. -1
B. -2
C. -1或2
D. -2或1

答案： C 解析：由题意，可得$k_{l_1}=\frac{m - n}{2}$，$k_{l_2}=\frac{n^2}{m}$，因为$l_1// l_2$，所以$k_{l_1}=k_{l_2}$，即$\frac{m - n}{2}=\frac{n^2}{m}$，化简得$m^2 - mn - 2n^2 = 0$，所以$m = -n$或$m = 2n$。又由$mn\neq0$，得$\frac{m}{n} = -1$或2。故选C。

2. 判断下列各题中的直线$l_1$与$l_2$是否平行.
(1)$l_1$经过点$A(-1,-2)$，$B(2,1)$，$l_2$经过点$M(3,4)$，$N(-1,-1)$；
(2)$l_1$的斜率为 1，$l_2$经过点$A(1,1)$，$B(2,2)$；
(3)$l_1$经过点$A(0,1)$，$B(1,0)$，$l_2$经过点$M(-1,3)$，$N(2,0)$；
(4)$l_1$经过点$A(-3,2)$，$B(-3,10)$，$l_2$经过点$M(5,-2)$，$N(5,5)$.

答案： 解：
(1)$k_1=\frac{1 - (-2)}{2 - (-1)} = 1$，$k_2=\frac{-1 - 4}{-1 - 3}=\frac{5}{4}$，因为$k_1\neq k_2$，故$l_1$与$l_2$不平行。
(2)$k_1 = 1$，$k_2=\frac{2 - 1}{2 - 1}=1$，因为$k_1 = k_2$，故$l_1// l_2$或$l_1$与$l_2$重合。
(3)$k_1=\frac{0 - 1}{1 - 0}=-1$，$k_2=\frac{0 - 3}{2 - (-1)}=-1$，则$k_1 = k_2$。又$k_{AM}=\frac{3 - 1}{-1 - 0}=-2\neq -1$，则$A$，$B$，$M$三点不共线，故$l_1// l_2$。
(4)由已知点的坐标，得$l_1$，$l_2$均与$x$轴垂直且不重合，故$l_1// l_2$。

探究1：$l_1$经过点$A(3,2)$，$B(3,-1)$，$l_2$经过点$M(1,1)$，$N(2,1)$，判断$l_1$与$l_2$是否垂直.

答案： 提示：直线$l_1$的斜率不存在，直线$l_2$的斜率为0，所以$l_1\perp l_2$。

探究2：已知直线$l_1$经过点$A(3,a)$，$B(a - 2,3)$，直线$l_2$经过点$C(2,3)$，$D(-1,a - 2)$. 若$l_1 \perp l_2$，求$a$的值.

答案： 提示：由题意，知$l_2$的斜率$k_2$一定存在，$l_1$的斜率可能不存在。
当$l_1$的斜率不存在时，$3 = a - 2$，即$a = 5$，此时$k_2 = 0$，所以$l_1\perp l_2$，满足题意；
当$l_1$的斜率$k_1$存在时，$a\neq5$，由斜率公式，得$k_1=\frac{3 - a}{a - 2 - 3}=\frac{3 - a}{a - 5}$，$k_2=\frac{a - 2 - 3}{-1 - 2}=\frac{a - 5}{-3}$。由$l_1\perp l_2$，得$k_1k_2 = -1$，即$\frac{3 - a}{a - 5}\times(\frac{a - 5}{-3})=-1$，解得$a = 0$。
综上所述，$a$的值为0或5。

探究3：已知$\triangle ABC$三个顶点的坐标分别为$A(-2,-4)$，$B(6,6)$，$C(0,6)$，求此三角形三边的高所在直线的斜率.

答案： 提示：由斜率公式，可得$k_{AB}=\frac{6 - (-4)}{6 - (-2)}=\frac{5}{4}$，$k_{BC}=\frac{6 - 6}{6 - 0}=0$，$k_{AC}=\frac{6 - (-4)}{0 - (-2)}=5$。
因为$k_{BC}=0$，所以$BC$边上的高线与$x$轴垂直，其斜率不存在。
设$AB$，$AC$边上高线的斜率分别为$k_1$，$k_2$。由$k_1\cdot k_{AB}=-1$，$k_2\cdot k_{AC}=-1$，即$k_1\times\frac{5}{4}=-1$，$k_2\times5=-1$，解得$k_1=-\frac{4}{5}$，$k_2=-\frac{1}{5}$。
综上所述，$BC$边上的高所在直线的斜率不存在；$AB$边上的高所在直线的斜率为$-\frac{4}{5}$；$AC$边上的高所在直线的斜率为$-\frac{1}{5}$。