《2025年新编高中同步作业高中数学选择性必修第一册人教版A》

探究2:如图,已知矩形ABCD所在的平面和矩形ADEF所在的平面互相垂直,点M,

N分别在对角线BD,AE上,且 BM=$\frac 13$BD,

AN=$\frac 13$AE.求证:向量共面.

答案： 探究2提示:因为点 $M$ 在 $BD$ 上，且 $BM=\frac{1}{3}BD$，所以 $\overrightarrow{MB}=\frac{1}{3}\overrightarrow{DB}=\frac{1}{3}\overrightarrow{DA}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}$。同理，$\overrightarrow{AN}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AD}+\frac{1}{3}\overrightarrow{DE}$，所以 $\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AN}=(\frac{1}{3}\overrightarrow{DA}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AB})+\overrightarrow{BA}+(\frac{1}{3}\overrightarrow{AD}+\frac{1}{3}\overrightarrow{DE})=\frac{2}{3}\overrightarrow{BA}+\frac{1}{3}\overrightarrow{DE}=\frac{2}{3}\overrightarrow{CD}+\frac{1}{3}\overrightarrow{DE}$。又 $\overrightarrow{CD}$ 与 $\overrightarrow{DE}$ 不共线，根据向量共面的充要条件可知，$\overrightarrow{MN}$，$\overrightarrow{CD}$，$\overrightarrow{DE}$ 共面。
[评价活动]

1.(多选)若a,b ,c不共面,则下列向量共面的是

(     ）

A.a-b,b-c ,c-a

B.3a ,a+b ,a-b

C.a+b,a-b,c

D.2(a+b) ,a+b+c ,c

答案： 1. ABD解析:对于A,因为 $a - b = -(b - c)-(c - a)$，符合题意，故A正确;对于B,因为 $3a=\frac{3}{2}[(a + b)+(a - b)]$，符合题意，故B正确;对于C,若 $a + b$，$a - b$，$c$ 共面，则存在实数 $\lambda$，$\mu$，使得 $c=\lambda(a + b)+\mu(a - b)=(\lambda + \mu)a+(\lambda - \mu)\cdot b$，故 $a$，$b$，$c$ 共面，这与 $a$，$b$，$c$ 不共面矛盾，故C错误;对于D,因为 $c = a + b + c-\frac{1}{2}\times2(a + b)$，符合题意，故D正确。故选ABD。

2.已知A,B,C三点不共线,对平面ABC外的任一点O，点M 满足=$\frac 13$

（1）判断三个向量是否共面；
（2）判断点M是否在平面ABC内

答案： 2. 解:
(1)由已知，得 $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=3\overrightarrow{OM}$，所以 $\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OM}=(\overrightarrow{OM}-\overrightarrow{OB})+(\overrightarrow{OM}-\overrightarrow{OC})$，所以 $\overrightarrow{MA}=\overrightarrow{BM}+\overrightarrow{CM}=-\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC}$，所以向量 $\overrightarrow{MA}$，$\overrightarrow{MB}$，$\overrightarrow{MC}$ 共面。
(2)由
(1)知，向量 $\overrightarrow{MA}$，$\overrightarrow{MB}$，$\overrightarrow{MC}$ 共面，又表示三个向量的有向线段过同一点 $M$，所以 $M$，$A$，$B$，$C$ 四点共面，所以点 $M$ 在平面 $ABC$ 内。