《2025年新编高中同步作业高中数学选择性必修第一册人教版A》

2. 已知点$A(-3,4),B(2,\sqrt{3})$，在$x$轴上找一点$P$，使$|PA| = |PB|$，并求$|PA|$的值.

答案： 解：设点$P(x,0)$，则
$|PA| = \sqrt{(x + 3)^2 + (0 - 4)^2} = \sqrt{x^2 + 6x + 25}$，
$|PB| = \sqrt{(x - 2)^2 + (0 - \sqrt{3})^2} = \sqrt{x^2 - 4x + 7}$。
由$|PA| = |PB|$，
得$x^2 + 6x + 25 = x^2 - 4x + 7$，解得$x = -\frac{9}{5}$，
所以所求点$P$的坐标为$(-\frac{9}{5},0)$，且$|PA| = \sqrt{(-\frac{9}{5} + 3)^2 + (0 - 4)^2} = \frac{2\sqrt{109}}{5}$。

任务三 坐标法证明平面几何问题
[探究活动]
探究：如图，在$\triangle ABC$中，$|AB| = |AC|$，$D$是$BC$边上异于$B,C$的任意一点. 证明：$|AB|^2 = |AD|^2 + |BD|\cdot|DC|$.
　　　　　　　　　　　　

答案：
探究 提示：如图，以$BC$的中点为原点$O$，$BC$所在的直线为$x$轴，建立直角坐标系。
设$A(0,a),B(-b,0),C(b,0),D(m,0)(-b ＜ m ＜ b)$，

则$|AB|^2 = (-b - 0)^2 + (0 - a)^2 = a^2 + b^2$，
$|AD|^2 = (m - 0)^2 + (0 - a)^2 = m^2 + a^2$，
$|BD| \cdot |DC| = |m + b| \cdot |b - m| = (b + m)(b - m) = b^2 - m^2$，
所以$|AD|^2 + |BD| \cdot |DC| = a^2 + b^2$，
所以$|AB|^2 = |AD|^2 + |BD| \cdot |DC|$。

[评价活动]
如图，已知$BD$是$\triangle ABC$的边$AC$上的中线，建立适当的平面直角坐标系. 证明：$|AB|^2 + |BC|^2 - \frac{1}{2}|AC|^2 = 2|BD|^2$.
　　　　　　　　　　　　

答案：
证明：如图所示，以$AC$所在的直线为$x$轴，点$D$为坐标原点，建立平面直角坐标系$xDy$。
设$B(b,c),C(a,0)$，依题意，得$A(-a,0)$。

$|AB|^2 + |BC|^2 - \frac{1}{2}|AC|^2 = (a + b)^2 + c^2 + (a - b)^2 + c^2 - \frac{1}{2}(2a)^2 = 2a^2 + 2b^2 + 2c^2 - 2a^2 = 2b^2 + 2c^2$，
$2|BD|^2 = 2(b^2 + c^2) = 2b^2 + 2c^2$，
所以$|AB|^2 + |BC|^2 - \frac{1}{2}|AC|^2 = 2|BD|^2$。