《2025年新编高中同步作业高中数学选择性必修第一册人教版A》

任务二 直线与圆的方程综合应用问题
[探究活动]
已知点(x，y)在圆(x - 2)² + (y + 3)² = 1上.
探究1：求$\frac{y}{x}$的最大值和最小值.
探究2：求x + y的最大值和最小值.
探究3：求过点(3，1)作圆(x - 2)² + (y - 2)² = 4的弦中最短弦的长.

答案： 探究1 提示：$\frac{y}{x}$可视为点(x，y)与原点连线的斜率，$\frac{y}{x}$的最大值和最小值就是与该圆有公共点且过原点的直线的斜率的最大值和最小值，即直线与圆相切时的斜率。设过原点的直线的方程为y = kx，由直线与圆相切，得圆心到直线的距离等于半径，即$\frac{|2k + 3|}{\sqrt{k^{2}+1}} = 1$，解得$k=-2+\frac{2\sqrt{3}}{3}$或$k=-2-\frac{2\sqrt{3}}{3}$，所以$\frac{y}{x}$的最大值为$-2+\frac{2\sqrt{3}}{3}$，最小值为$-2-\frac{2\sqrt{3}}{3}$。
探究2 提示：设t = x + y，则y = -x + t，t可视为直线y = -x + t在y轴上的截距，所以x + y的最大值和最小值就是直线与圆有公共点时直线纵截距的最大值和最小值，即直线与圆相切时在y轴上的截距。由直线与圆相切，得圆心到直线的距离等于半径，即$\frac{|2+( - 3)-t|}{\sqrt{2}} = 1$，解得$t=\sqrt{2}-1$或$t=-\sqrt{2}-1$，所以x + y的最大值为$\sqrt{2}-1$，最小值为$-\sqrt{2}-1$。
探究3 提示：设P(3，1)，圆心C(2，2)，则$|PC|=\sqrt{2}$，半径r = 2。由题意知，最短的弦过点P(3，1)且与PC垂直，所以最短弦长为$2\sqrt{2^{2}-(\sqrt{2})^{2}} = 2\sqrt{2}$。

[评价活动]
1.（2023·全国乙卷）已知实数x，y满足x² + y² - 4x - 2y - 4 = 0，则x - y的最大值是（ ）
A. $1+\frac{3\sqrt{2}}{2}$
B. 4
C. $1 + 3\sqrt{2}$
D. 7

答案： C 解析：(方法一)令x - y = k，则x = k + y，代入原式化简，得$2y^{2}+(2k - 6)y + k^{2}-4k - 4 = 0$。
因为存在实数y，则$\Delta\geq0$，即$(2k - 6)^{2}-4\times2(k^{2}-4k - 4)\geq0$，
化简，得$k^{2}-2k - 17\leq0$，解得$1 - 3\sqrt{2}\leq k\leq1 + 3\sqrt{2}$，故x - y的最大值是$3\sqrt{2}+1$。
(方法二)将$x^{2}+y^{2}-4x - 2y - 4 = 0$，
整理，得$(x - 2)^{2}+(y - 1)^{2}=9$。
令$x = 3\cos\theta+2$，$y = 3\sin\theta+1$，其中$\theta\in[0,2\pi]$，
则$x - y = 3\cos\theta-3\sin\theta+1 = 3\sqrt{2}\cos(\theta+\frac{\pi}{4})+1$。
因为$\theta\in[0,2\pi]$，所以$\theta+\frac{\pi}{4}\in[\frac{\pi}{4},\frac{9\pi}{4}]$，当$\theta+\frac{\pi}{4}=2\pi$，即$\theta=\frac{7\pi}{4}$时，x - y取得最大值$3\sqrt{2}+1$。
(方法三)由$x^{2}+y^{2}-4x - 2y - 4 = 0$，得$(x - 2)^{2}+(y - 1)^{2}=9$，
设x - y = k，则圆心到直线x - y = k的距离$d=\frac{|2 - 1 - k|}{\sqrt{2}}\leq3$，
解得$1 - 3\sqrt{2}\leq k\leq1 + 3\sqrt{2}$，
故x - y的最大值为$3\sqrt{2}+1$。

2. 著名数学家华罗庚曾说过“数无形时少直觉，形少数时难入微”. 事实上，很多代数问题都可以转化为几何问题加以解决，如$\sqrt{(x - a)² + (y - b)²}$可以转化为平面上点M(x，y)与点N(a，b)间的距离. 结合上述观点，可得$f(y)=\sqrt{y² - 4y + 20}+\sqrt{y² - 2y + 10}$的最小值为（ ）
A. $2\sqrt{5}$
B. $5\sqrt{2}$
C. 8
D. 6

答案： B 解析：$f(y)=\sqrt{y^{2}-4y + 20}+\sqrt{y^{2}-2y + 10}=\sqrt{(0 - 4)^{2}+(y - 2)^{2}}+\sqrt{(0 - 3)^{2}+(y - 1)^{2}}$，所以f(y)表示点P(0，y)到A(4，2)与B(3，1)的距离之和。作A(4，2)关于y轴的对称点得A'(-4，2)，所以$PA + PB = PA'+PB\geq A'B=\sqrt{50}=5\sqrt{2}$。故选B。

3. 设村庄外围所在曲线的方程可用(x - 2)² + (y + 3)² = 4表示，村外一条小路所在直线的方程可用x - y + 2 = 0表示，则从村庄外围到小路的最短距离为________.

答案： $\frac{7\sqrt{2}}{2}-2$ 解析：圆心(2，-3)到直线x - y + 2 = 0的距离为$\frac{|2 + 3 + 2|}{\sqrt{2}}=\frac{7\sqrt{2}}{2}$，则从村庄外围到小路的最短距离为$\frac{7\sqrt{2}}{2}-2$。