《2025年新编高中同步作业高中数学选择性必修第一册人教版A》

问题1 任意一条直线都有倾斜角和斜率吗？

答案： 提示：任意一条直线都有倾斜角，但是不一定有斜率，倾斜角为90°的直线不存在斜率.

问题2 怎样求直线的斜率？

答案： 提示：$k = \tan\alpha$，或$k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$.

1. 已知点M(5,3)，N(-3,2). 若直线PM，PN的斜率分别为2和$-\frac{7}{4}，$则点P的坐标为（ ）
$A.（-1,5） B.(-\frac{1}{2},\frac{2}{5})$
$C. (\frac{1}{5},-\frac{2}{5}) D.（1,-5）$

答案： D 解析：设$P(x,y)$，则$\begin{cases}\frac{y - 3}{x - 5} = 2 \\ \frac{y - 2}{x - (-3)} = -\frac{7}{4} \end{cases}$，解得$\begin{cases}x = 1 \\ y = -5 \end{cases}$，所以点$P$的坐标为$(1,-5)$.

2. 经过两点A(4,2y + 1)，B(2,-3)的直线的倾斜角为135°，则y = ________.

答案： -3 解析：由$\frac{2y + 1 - (-3)}{4 - 2} = \frac{2y + 4}{2} = y + 2 = \tan135^{\circ} = -1$，得$y = -3$.

问题1 怎样利用斜率判断两条直线的位置关系？

答案： 提示：$l_1// l_2\Leftrightarrow k_1 = k_2$；$l_1\perp l_2\Leftrightarrow k_1k_2 = -1$.

问题2 怎样用方程判断两条直线的位置关系？

答案： 提示：对于直线$l_1:A_1x + B_1y + C_1 = 0$，$l_2:A_2x + B_2y + C_2 = 0$，$A_2$，$B_2$，$C_2$均不为零.
(1)平行：$\frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} \neq \frac{C_1}{C_2}$；
(2)重合：$\frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} = \frac{C_1}{C_2}$；
(3)相交：$\frac{A_1}{A_2} \neq \frac{B_1}{B_2}$；
(4)垂直：$A_1A_2 + B_1B_2 = 0$.

在△ABC中，已知A(-5,0)，C(0,2). 若BC边所在的直线的方程为5x + 3y - 6 = 0，且BC边的中线所在的直线的方程为x + 13y + 5 = 0，则过点B且与直线AC平行的直线的方程为____________.

答案： $2x - 5y - 21 = 0$ 解析：设$B(a,b)$，则$BC$边的中点坐标为$(\frac{a}{2},\frac{b + 2}{2})$，代入$x + 13y + 5 = 0$，得$\frac{a}{2} + 13\times\frac{b + 2}{2} + 5 = 0$. 又$5a + 3b - 6 = 0$，解得$\begin{cases}a = 3 \\ b = -3 \end{cases}$，则点$B$的坐标为$(3,-3)$. 因为$k_{AC} = \frac{2}{5}$，所以所求直线方程为$y + 3 = \frac{2}{5}(x - 3)$，即$2x - 5y - 21 = 0$.