《2025年新编高中同步作业高中数学选择性必修第一册人教版A》

探究1：如图，在直三棱柱$ABC - A_{1}B_{1}C_{1}$中，$\angle ABC = \frac{\pi}{2}$，$D$是棱$AC$的中点，且$AB = BC = BB_{1}=1$.
（1）求证：$AB_{1}//$平面$BC_{1}D$；
（2）求直线$AB_{1}$到平面$BC_{1}D$的距离.

答案：
提示:
(1)以B为原点，以BC，BA，$BB_{1}$所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则B(0,0,0)，$C_{1}(1,0,1)$，D$(\frac{1}{2},\frac{1}{2},0)$，A(0,1,0)，$B_{1}(0,0,1)$，
所以$\overrightarrow{BC_{1}}=(1,0,1)$，$\overrightarrow{BD}=(\frac{1}{2},\frac{1}{2},0)$，$\overrightarrow{AB_{1}}=(0,-1,1)$。
设平面$BC_{1}D$的法向量为$n=(x,y,z)$，
则$\begin{cases}\overrightarrow{BC_{1}} \cdot n = 0 \\ \overrightarrow{BD} \cdot n = 0\end{cases}$，即$\begin{cases}x + z = 0 \\ \frac{1}{2}x + \frac{1}{2}y = 0\end{cases}$，
令x = 1，则$n=(1,-1,-1)$为平面$BC_{1}D$的一个法向量。
因为$\overrightarrow{AB_{1}} \cdot n = 0×1+(-1)×(-1)+1×(-1)=0$，
所以$\overrightarrow{AB_{1}} \perp n$。
又$AB_{1} \not\subset$平面$BC_{1}D$，
所以$AB_{1} //$平面$BC_{1}D$。
(2)因为$AB_{1} //$平面$BC_{1}D$，
所以直线上任一点到平面的距离都相等。
设直线$AB_{1}$到平面$BC_{1}D$的距离为d，$\overrightarrow{BA}=(0,1,0)$，
则$d=\frac{|\overrightarrow{BA} \cdot n|}{|n|}=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，
所以直线$AB_{1}$到平面$BC_{1}D$的距离为$\frac{\sqrt{3}}{3}$。

探究2：在棱长为1的正方体$ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$中，求平面$AB_{1}C$与平面$A_{1}C_{1}D$之间的距离.

答案：
提示:建立如图所示的空间直角坐标系，
则$A_{1}(1,0,0)$，$C_{1}(0,1,0)$，D(0,0,1)，A(1,0,1)。

所以$\overrightarrow{DA_{1}}=(1,0,-1)$，$\overrightarrow{DC_{1}}=(0,1,-1)$，$\overrightarrow{AD}=(-1,0,0)$。
设平面$A_{1}C_{1}D$的法向量为$m=(x,y,1)$，
则$\begin{cases}m \perp \overrightarrow{DA_{1}} \\ m \perp \overrightarrow{DC_{1}}\end{cases}$，即$\begin{cases}m \cdot \overrightarrow{DA_{1}} = x - 1 = 0 \\ m \cdot \overrightarrow{DC_{1}} = y - 1 = 0\end{cases}$，解得$\begin{cases}x = 1 \\ y = 1\end{cases}$，
故$m=(1,1,1)$为平面$A_{1}C_{1}D$的一个法向量。
显然平面$AB_{1}C //$平面$A_{1}C_{1}D$，
所以平面$AB_{1}C$与平面$A_{1}C_{1}D$之间的距离，即为点A到平面$A_{1}C_{1}D$的距离，
所以平面$AB_{1}C$与平面$A_{1}C_{1}D$之间的距离$d=\frac{|\overrightarrow{AD} \cdot m|}{|m|}=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$。

[评价活动]
如图所示，在直棱柱$ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$中，底面为直角梯形，$AB// CD$且$\angle ADC = 90^{\circ}$，$AD = 1$，$CD = \sqrt{3}$，$BC = 2$，$AA_{1}=2$，$E$是$CC_{1}$的中点. 求直线$A_{1}B_{1}$到平面$ABE$的距离.

答案：
解:如图,以D为坐标原点,分别以$\overrightarrow{DA}$，$\overrightarrow{DC}$，$\overrightarrow{DD_{1}}$的方向为x轴、y轴、z轴的正方向,建立空间直角坐标系，
则$A_{1}(1,0,2)$，A(1,0,0)，E(0,$\sqrt{3}$,1)，C(0,$\sqrt{3}$,0)。
过点C作AB的垂线交AB于点F，易得$BF = \sqrt{3}$，
所以B(1,$2\sqrt{3}$,0)，
所以$\overrightarrow{AB}=(0,2\sqrt{3},0)$，$\overrightarrow{BE}=(-1,-\sqrt{3},1)$。
设平面ABE的法向量为$n=(x,y,z)$，
则$\begin{cases}n \cdot \overrightarrow{AB} = 0 \\ n \cdot \overrightarrow{BE} = 0\end{cases}$，即$\begin{cases}2\sqrt{3}y = 0 \\ -x - \sqrt{3}y + z = 0\end{cases}$，
取x = 1，得$n=(1,0,1)$。
因为$\overrightarrow{AA_{1}}=(0,0,2)$，
所以点$A_{1}$到平面ABE的距离$d = \frac{|\overrightarrow{AA_{1}} \cdot n|}{|n|}=\frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$。
因为$A_{1}B_{1} //$平面ABE，
所以直线$A_{1}B_{1}$到平面ABE的距离等于点$A_{1}$到平面ABE的距离，
所以直线$A_{1}B_{1}$到平面ABE的距离为$\sqrt{2}$。