《2025年一线调研学业测评七年级数学下册北师大版》

14. 对于算式$3^{m + n}\div( ) = 3^{m - 2}$，括号中应填入的代数式是 （ ）
A. $3^{m + n + 2}$
B. $3^{n - 2}$
C. $3^{m + n + 3}$
D. $3^{n + 2}$

答案： D

15. 乐乐通过查阅资料了解到某种病毒的直径约为$110nm = 0.\cdots011m$（提示：$1nm = 10^{-9}m$，省略号省略了$x$个0），另一种病毒的直径约为$0.000000075m = 7.5\times10^{-y}m$，则$x + y =$ （ ）
A. 2
B. 3
C. 12
D. 13

答案： C[解析]因为$1nm = 10^{-9}m$，所以$110nm = 110\times 10^{-9}m = 1.10\times 10^{-7}=0.00000011m$。所以省略的 0 的个数为 4，即$x = 4$。因为$0.000000075m = 7.5\times 10^{-y}m = 7.5\times 10^{-8}m$，所以$y = 8$。所以$x + y = 4 + 8 = 12$。

16. （1）若$x - 2y + 1 = 0$，则$2^{x}\div4^{y} =$ ______；
（2）已知$3^{m}=4$，$3^{2m - n}=2$，则$3^{n} =$ ______。

答案：
(1)$\frac{1}{2}$
(2)8

17. 计算：
（1）$(p - q)^{4}\div(q - p)^{3}\cdot(p - q)^{2}$；
（2）$(-1)^{2025}+(\pi - 3.14)^{0}-(-\frac{1}{3})^{-1}$；
（3）$-2^{2}+3^{-1}\times(-\frac{1}{4})^{0}+4\div|-6|$。

答案：
(1)$-(p - q)^{3}$
(2)3
(3)-3

18. 若$100^{x}=20$，$10^{5y}=5^{-1}$，求$4^{x}\div32^{y}$的值。

答案： 解：因为$100^{x}=10^{2x}=20$，所以$100^{x}\div 10^{5y}=10^{2x}\div 10^{5y}=10^{2x - 5y}=20\div\frac{1}{5}=100 = 10^{2}$。所以$2x - 5y = 2$。所以$4^{x}\div 32^{y}=2^{2x}\div 2^{5y}=2^{2x - 5y}=2^{2}=4$。

19. 一个正方体集装箱的棱长为0.8m.
（1）这个集装箱的体积是多少？（用科学记数法表示）
（2）若有一个小立方块的棱长为$2\times10^{-2}m$，则需要多少个这样的小立方块才能将集装箱装满？

答案： 解：
(1)$0.8\times 0.8\times 0.8 = 0.512 = 5.12\times 10^{-1}(m^{3})$。
答：这个集装箱的体积是$5.12\times 10^{-1}m^{3}$。
(2)$5.12\times 10^{-1}\div(2\times 10^{-2})^{3}=64000$(个)。
答：需要 64000 个这样的小立方块才能将集装箱装满。

20. 已知$a^{m}=2$，$a^{n}=4$，$a^{k}=32(a\neq0)$。
（1）求$a^{3m + 2n - k}$的值；
（2）求$k - 3m - n$的值。

答案： 解：
(1)因为$a^{3m}=2^{3}$，$a^{2n}=4^{2}=2^{4}$，$a^{k}=32 = 2^{5}$，所以$a^{3m + 2n - k}=a^{3m}\cdot a^{2n}\div a^{k}=2^{3}\cdot 2^{4}\div 2^{5}=2^{3 + 4 - 5}=2^{2}=4$。
(2)因为$a^{k - 3m - n}=a^{k}\div a^{3m}\div a^{n}=2^{5}\div 2^{3}\div 2^{2}=2^{0}=1 = a^{0}$，所以$k - 3m - n = 0$。