《2025年一线调研学业测评七年级数学下册北师大版》

11. 计算：
（1）$(2x + y - 1)^{2}$；
（2）$(a + 3b)^{2}-2(a + 3b)(a - 3b)+(a - 3b)^{2}$；
（3）$2024^{2}-4048\times2025 + 2025^{2}$。

答案：
(1)$4x^{2}+4xy + y^{2}-4x - 2y + 1$
(2)$36b^{2}$
(3)1

12. 已知$x + y = 3$，且$(x + 2)(y + 2)=12$。
（1）求$xy$的值；
（2）求$x^{3}y + 2x^{2}y^{2}+xy^{3}$的值。

答案： 解：
(1)因为$(x + 2)(y + 2)=12$，
所以$xy + 2(x + y)+4 = 12$。
因为$x + y = 3$，
所以$xy + 6 + 4 = 12$，即$xy = 2$。
(2)原式$=xy(x^{2}+2xy + y^{2})=xy(x + y)^{2}=2\times3^{2}=18$。

13. 已知$(a + b)^{2}=19$，$ab = 2$，求：
（1）$a^{2}+b^{2}$的值；
（2）$(a - b)^{2}$的值。

答案： 解：
(1)因为$(a + b)^{2}=19$，$ab = 2$，
所以$a^{2}+b^{2}+2ab = 19$。
所以$a^{2}+b^{2}=19 - 4 = 15$。
(2)因为$a^{2}+b^{2}=15$，
所以$(a - b)^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab = 11$。

14. 阅读材料：
已知$m^{2}+2m + n^{2}-6n + 10 = 0$，求$m$，$n$的值。
解：等式可变形为$(m^{2}+2m + 1)+(n^{2}-6n + 9)=0$，
即$(m + 1)^{2}+(n - 3)^{2}=0$。
因为$(m + 1)^{2}\geq0$，$(n - 3)^{2}\geq0$，
所以$m + 1 = 0$，$n - 3 = 0$。
所以$m = -1$，$n = 3$。
像这样将代数式进行恒等变形，使代数式中出现完全平方式的方法叫作“配方法”。
请你利用配方法，解决下列问题：
（1）已知$a$，$b$分别是长方形$ABCD$的长、宽，且满足$a^{2}+b^{2}-8a - 6b + 25 = 0$，则长方形$ABCD$的面积是__________；
（2）求代数式$a^{2}+4b^{2}+4ab - 4a - 8b + 7$的最小值，并求出此时$a$，$b$满足的数量关系；
（3）请比较多项式$2x^{2}+2x - 3$与$x^{2}+3x - 4$的大小，并说明理由（提示：若$a - b＞0$，则$a＞b$；若$a - b = 0$，则$a = b$；若$a - b＜0$，则$a＜b$）。

答案： 解：
(1)12
(2)原式$=(a^{2}+4ab + 4b^{2})-(4a + 8b)+7$
$=(a + 2b)^{2}-4(a + 2b)+4 + 3$
$=(a + 2b - 2)^{2}+3$。
因为$(a + 2b - 2)^{2}\geq0$，
所以当$a + 2b - 2 = 0$，即$a + 2b = 2$时，代数式$a^{2}+4b^{2}+4ab - 4a - 8b + 7$有最小值，最小值为 3。
(3)$2x^{2}+2x - 3＞x^{2}+3x - 4$。理由如下：
因为$2x^{2}+2x - 3-(x^{2}+3x - 4)=2x^{2}+2x - 3 - x^{2}-3x + 4=x^{2}-x + 1=(x-\frac{1}{2})^{2}+\frac{3}{4}＞0$，
所以$2x^{2}+2x - 3＞x^{2}+3x - 4$。