《2025年一线调研学业测评七年级数学下册北师大版》

11. 如图，在△ABC中，AB = AC，AD⊥BC，垂足为D。若S△ABC = 12，则图中阴影部分的面积为__________。

答案： 6

12. (娄底中考)如图，在△ABC中，AB = AC = 2，P是BC上任意一点，PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F，若S△ABC = 1，则PE + PF = ______。

答案： 1

13. (绍兴中考)如图，在△ABC中，AB = AC，∠B = 70°，以点C为圆心，CA为半径作弧，交直线BC于点P，连接AP，则∠BAP的度数是____________。

答案： $15^{\circ}$或$75^{\circ}$

14. 如图，P，Q是△ABC的边BC上的两点，且PB = PQ = QC = PA = AQ，求∠BAC的度数。

答案： 解：因为$PQ = PA = AQ$，所以$\triangle PAQ$为等边三角形。
所以$\angle APQ=\angle AQP=\angle PAQ = 60^{\circ}$。所以$\angle APB = 180^{\circ}-\angle APQ = 120^{\circ}$。又因为$PA = PB$，所以$\angle PAB=\angle B=\frac{1}{2}(180^{\circ}-\angle APB)=30^{\circ}$。同理$\angle QAC = 30^{\circ}$。
所以$\angle BAC=\angle PAB+\angle PAQ+\angle QAC = 120^{\circ}$。

15. 如图，在△ABC中，∠ABC = 70°，AB = AC = 8，D为BC中点，点N在线段AD上，NM//AC交AB于点M，BN = 3。
(1)求∠CAD的度数；
(2)求△BMN的周长。

答案： 解：
(1)因为$AB = AC$，所以$\angle ACB=\angle ABC = 70^{\circ}$，所以$\angle BAC = 180^{\circ}-70^{\circ}\times2 = 40^{\circ}$。又因为$D$为$BC$的中点，所以$AD$平分$\angle BAC$。所以$\angle CAD=\angle BAD=\frac{1}{2}\angle BAC = 20^{\circ}$。故$\angle CAD$的度数为$20^{\circ}$。
(2)因为$NM// AC$，所以$\angle ANM=\angle CAD$。又因为$\angle CAD=\angle BAD$，所以$\angle ANM=\angle BAD$。所以$AM = NM$。所以$\triangle BMN$的周长$=MB + NM + BN = AB + BN$。因为$AB = 8$，$BN = 3$，所以$\triangle BMN$的周长$=8 + 3 = 11$。

16. 如图，在△ABC中，AB = AC，D为线段BC上一动点（不与点B，C重合），连接AD，作∠DAE = ∠BAC，且AD = AE，连接CE。
(1)如图1，当CE//AB时，若∠BAD = 35°，则∠DEC = ______°；
(2)如图2，设∠BAC = α（90°＜α＜180°），在点D运动过程中，当DE⊥BC时，∠DEC = __________。（用含α的式子表示）

答案：
(1)25
(2)$\alpha - 90^{\circ}$