《2025年一线调研学业测评七年级数学下册北师大版》

9. 运用整式乘法公式计算：$2024^{2}-2023×2025=$________。

答案： 1

10. 按照如图所示的程序计算，且若不符合输出条件，则将计算结果作为新的m值代入程序。若开始输入的m值为3，则最后输出的结果是________。

答案： 63

11. (宜昌中考)从前，一位庄园主把一块边长为a米(a＞6)的正方形土地租给租户张老汉，第二年，他对张老汉说：“我把这块地的一边增加6米，相邻的另一边减少6米，变成长方形土地继续租给你，租金不变，你也没有吃亏，你看如何?”如果这样，你觉得张老汉的租地面积（ ）
A. 没有变化
B. 变大了
C. 变小了
D. 无法确定

答案： C 【解析】矩形的面积为$(a + 6)(a - 6)=a^{2}-36$，所以矩形的面积比正方形的面积$a^{2}$小了36平方米。

12. 嘉琪通过计算和化简下列两式，发现了一个结论，请你帮助嘉琪完成这一过程。
（1）计算：$[(9 + 2)^{2}-(9 - 2)^{2}]×(-25)÷9$；
（2）化简：$[(a + 2)^{2}-(a - 2)^{2}]×(-25)÷a(a≠0)$；
（3）请写出嘉琪发现的结论。

答案： 解：
(1)原式$=(11^{2}-7^{2})×(-25)÷9=(11 - 7)(11 + 7)×(-25)÷9=4×18×(-25)÷9=-200$。
(2)原式$=[(a + 2)+(a - 2)][(a + 2)-(a - 2)]×(-25)÷a=2a×4×(-25)÷a=-200$。
(3)当$a$取不为0的数时，$[(a + 2)^{2}-(a - 2)^{2}]×(-25)÷a$的值均等于 - 200。

13. 观察下列各式：
$1-\frac{1}{2^{2}}=1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}=\frac{1}{2}×\frac{3}{2}$；
$1-\frac{1}{3^{2}}=1-\frac{1}{9}=\frac{8}{9}=\frac{2}{3}×\frac{4}{3}$；
$1-\frac{1}{4^{2}}=1-\frac{1}{16}=\frac{15}{16}=\frac{3}{4}×\frac{5}{4}$；
$1-\frac{1}{5^{2}}=1-\frac{1}{25}=\frac{24}{25}=\frac{4}{5}×\frac{6}{5}$；
……
（1）用你发现的规律填空：
$1-\frac{1}{6^{2}}=$______×______；
$1-\frac{1}{n^{2}}=$______×______。
（2）用你发现的规律计算：
$(1-\frac{1}{2^{2}})×(1-\frac{1}{3^{2}})×(1-\frac{1}{4^{2}})×…×(1-\frac{1}{2024^{2}})×(1-\frac{1}{2025^{2}})$。

答案： 解：
(1)$\frac{5}{6}$ $\frac{7}{6}$ $(1-\frac{1}{n})$ $(1+\frac{1}{n})$
(2)原式$=\frac{1}{2}×\frac{3}{2}×\frac{2}{3}×\frac{4}{3}×\frac{3}{4}×\frac{5}{4}×\cdots×\frac{2023}{2024}×\frac{2025}{2024}×\frac{2024}{2025}×\frac{2026}{2025}=\frac{1}{2}×\frac{2026}{2025}=\frac{1013}{2025}$。

14. 我们已经学习了平方差公式$(a + b)(a - b)=a^{2}-b^{2}$，反过来则有$a^{2}-b^{2}=(a + b)·(a - b)$。根据平方差公式的逆用解答：已知$2^{96}-1$可以被60至70之间的两个整数整除，则这两个整数是多少?

答案： 解：因为$2^{96}-1=(2^{48}+1)(2^{48}-1)=(2^{48}+1)(2^{24}+1)(2^{24}-1)=(2^{48}+1)(2^{24}+1)(2^{12}+1)(2^{12}-1)=(2^{48}+1)(2^{24}+1)(2^{12}+1)\cdot(2^{6}+1)(2^{6}-1)=(2^{48}+1)(2^{24}+1)(2^{12}+1)×65×63$，所以这两个整数是65和63。