《2025年一线调研学业测评七年级数学下册北师大版》

1. 如图，在△ABC中，AB = AC，AD = DB = BC，DE⊥AB于点E，若CD = 4，且△BDC的周长为24，求AE的长。

答案： 解:因为△BDC的周长为24,CD=4,所以DB+BC=20。因为AD=DB=BC,所以AD=DB=BC=10。又因为AB=AC,所以AB=AC=AD+CD=14。因为AD=DB,DE⊥AB,所以AE=$\frac{1}{2}$AB=7。

2. 如图，在△ABC中，AB = AC，AD是BC边上的中线，EF垂直平分AC，与AC，AD，AB分别交于点E，M，F。若∠CAD = 20°，求∠MCD的度数。

答案： 解:因为AB=AC,AD是BC边上的中线，所以AD⊥BC。所以∠ADC=90°,又因为∠CAD=20°,所以∠ACD=70°。因为EF垂直平分AC,所以AM=CM。所以∠ACM=∠CAM=20°。所以∠MCD=∠ACD−∠ACM=70°−20°=50°。

3. 如图，在等腰三角形ABC中，D，E是底边BC上的两点，且AD = AE。试说明BD = CE。

答案：
解:如图，过点A作AH⊥BC于点H。因为△ABC是等腰三角形，所以BH=CH。因为AD=AE,AH⊥BC,所以DH =EH。所以BH−DH=CH−EH,即BD=CE。

4. 如图，AD是△ABC的角平分线，且AE = AC，EF//BC交AC于点F。试说明∠DEC = ∠FEC。

答案： 解:因为AD平分∠EAC，AE=AC,所以AD垂直平分EC。所以DE=DC。所以∠DEC=∠DCE。又因为EF//BC,所以∠CEF=∠DCE。所以∠DEC=∠FEC。

5. 如图，在等腰三角形ABC中，CH是底边上的高，P是线段CH上不与端点重合的任意一点，连接AP，BP并延长，分别交BC，AC于点E，F。试说明：
(1)∠CAE = ∠CBF；
(2)AE = BF。

答案： 解:
(1)因为△ABC是等腰三角形，CH是底边上的高，所以∠CAB=∠CBA,CH垂直平分AB。所以PA=PB。所以∠PAB=∠PBA。所以∠CAB−∠PAB=∠CBA−∠PBA,即∠CAE=∠CBF。
(2)因为△ABC是等腰三角形，AB为底边，所以AC=BC。在△ACE和△BCF中,因为∠ACE=∠BCF,AC=BC,∠CAE=∠CBF,所以△ACE≌△BCF。所以AE=BF。

6. 如图，∠BAC = ∠ABD，AC = BD，O是AD，BC的交点，E是AB的中点，则∠AEO = ______。

答案： 90°