《2025年一线调研学业测评七年级数学下册北师大版》

10. 如图，已知在等边三角形$ABC$中，$BD = CE$，$AD$与$BE$相交于点$P$，则$\angle APB$的度数是________。

答案： 120°

11. 已知：线段$a$，$b$及$\angle\alpha$，如图所示。求作：$\triangle ABC$，使其有一个角是$\angle\alpha$，且$\angle\alpha$的对边等于$a$，另一边等于$b$。

答案：
解：如图所示。作法：（1）作∠MBN = ∠α；（2）在边BM上截取AB = b；（3）以点A为圆心，以线段a为半径作弧交BN于点C（或C'）；（4）连接AC（或AC'），则△ABC（或△ABC'）就是所求作的三角形。

12. 如图，在$\triangle ABC$中，$AD$，$CE$分别是边$BC$，$AB$上的高，$AD$与$CE$交于点$F$，连接$BF$，延长$AD$到点$G$，使得$AG = BC$，连接$BG$，若$CF = AB$。
（1）试判断$BG$与$FB$之间的数量关系，并说明理由。
（2）求$\angle FBG$的度数。

答案： 解：（1）BG = FB。理由如下：因为AD，CE分别是边BC，AB上的高，所以∠ADB = ∠CEB = 90°。所以∠BAG + ∠EBD = ∠FCB + ∠EBD = 90°。所以∠BAG = ∠FCB。在△ABG和△CFB中，因为AG = CB，∠BAG = ∠FCB，AB = CF，所以△ABG≌△CFB（SAS）。所以BG = FB。
（2）由（1）知△ABG≌△CFB，所以∠G = ∠FBD。因为∠G + ∠DBG = 90°，所以∠FBG = ∠FBD + ∠DBG = ∠G + ∠DBG = 90°，即∠FBG的度数为90°。

13. 如图，在$\triangle ABC$中，$AB = AC = 10cm$，$\angle B=\angle C$，$BC = 8cm$，$D$为$AB$的中点，点$P$在线段$BC$上以$3cm/s$的速度由点$B$向点$C$运动，同时，点$Q$在线段$CA$上由点$C$向点$A$运动。
（1）若点$Q$的运动速度与点$P$的运动速度相等，则1s后，$\triangle BPD$与$\triangle CQP$是否全等？请说明理由。
（2）若点$Q$的运动速度与点$P$的运动速度不相等，则当点$Q$的运动速度为多少时，能够使$\triangle BPD$与$\triangle CQP$全等？

答案： 解：（1）△BPD与△CQP全等。理由：因为AB = AC = 10cm，D为AB的中点，所以BD = 5cm。易得BP = CQ = 3cm，所以CP = BC - BP = 5cm = BD。在△BPD和△CQP中，因为BD = CP，∠B = ∠C，BP = CQ，所以△BPD≌△CQP。
（2）设当点Q的运动速度为x（x≠3）cm/s时，经过ts△BPD与△CQP全等。
由题意得BD = 5cm，BP = 3tcm，CP = (8 - 3t)cm，CQ = xtcm，BP与QC不相等。因为∠B = ∠C，所以当BP = CP，BD = CQ时，△BPD与△CQP全等。所以3t = 8 - 3t，5 = xt，解得x = $\frac{15}{4}$。所以当点Q的运动速度为$\frac{15}{4}$cm/s时，能够使△BPD与△CQP全等。