《2025年一线调研学业测评七年级数学下册北师大版》

1. 已知$a + b = 10$，$a - b = 6$，则$a^{2}-b^{2}$的值是(　　)
A. 12　　
B. 60　　
C. -60　
D. -12

答案： B

2. 已知$x + y = - 5$，$xy = 3$，则$x^{2}+y^{2}=$(　　)
A. 19　　
B. 6　　　
C. 25　　
D. -19

答案： A

3. 已知$(x + y)^{2}=1$，$(x - y)^{2}=49$，则$x^{2}+y^{2}=$______，$xy=$________。

答案： 25　-12

4. 已知$a - b = 2$，$ab = 3$，则$a^{4}+b^{4}=$______。

答案： 82

5. 计算:
　(1)$119\times121$;
　(2)$198^{2}$;
　(3)$99^{2}-69\times71$;
　(4)$\frac{20242023^{2}}{20242022^{2}[phone]^{2}-2}$。

答案：
(1)14399　
(2)39204　
(3)4902　
(4)$\frac{1}{2}$

6. 对于任意正整数$n$，整式$(3n + 1)(3n - 1)-(3 - n)(3 + n)$的值一定是 10 的倍数，试说明理由。

答案： 解：原式$=9n^{2}-1-(9 - n^{2})=10n^{2}-10=10(n^{2}-1)$。
因为$10(n^{2}-1)\div10=n^{2}-1$，$n$为正整数，所以$n^{2}-1$为整数。
所以整式$(3n + 1)(3n - 1)-(3 - n)(3 + n)$的值一定是10的倍数。

7. 试求$2(3 + 1)(3^{2}+1)(3^{4}+1)\times\cdots\times(3^{32}+1)+1$的个位数字。

答案： 解：原式$=(3 - 1)(3 + 1)(3^{2}+1)(3^{4}+1)\times\cdots\times(3^{32}+1)+1=(3^{2}-1)(3^{2}+1)(3^{4}+1)\times\cdots\times(3^{32}+1)+1=(3^{32}-1)(3^{32}+1)+1=3^{64}$。因为$3^{1}=3$，$3^{2}=9$，$3^{3}=27$，$3^{4}=81$，$3^{5}=243$，$3^{6}=729$，$\cdots\cdots$，所以个位数字每4个数一循环。因为$64\div4 = 16$，所以$3^{64}$的个位数字是1。

8. 一块边长为$(3m - 1)$米的正方形广场，经扩建后仍为正方形，其边长比原来长 3 米。求扩建后的广场面积比原来增加了多少平方米。

答案： 解：由题意，得扩建后的广场面积为$(3m + 2)^{2}$平方米。
$(3m + 2)^{2}-(3m - 1)^{2}=(3m + 2 + 3m - 1)(3m + 2 - 3m + 1)=(6m + 1)\times3=18m + 3$。所以扩建后的广场面积比原来增加了$(18m + 3)$平方米。