《2025年一线调研学业测评七年级数学下册北师大版》

1. 小明在学习中遇到这样一个问题：如图，在△ABC中，∠C＞∠B，AE平分∠BAC，AD⊥BC于点D，试猜想∠B，∠C，∠EAD之间的数量关系。小明阅读题目后，没有发现数量关系与解题思路，于是尝试取几组∠B，∠C的特殊值求∠EAD的度数，得到下表中几组对应值。
|∠B的度数|20°|30°|30°|40°|
|∠C的度数|50°|60°|70°|60°|
|∠EAD的度数|15°|α|20°|β|
(1) 直接写出表中α，β的度数；
(2) 猜想∠B，∠C，∠EAD之间的数量关系，并说明理由。

答案： 1. 解：
(1)$\alpha = 15^{\circ},\beta = 10^{\circ}$。
(2)$\angle B,\angle C,\angle EAD$之间的关系是$\angle EAD=\frac{1}{2}(\angle C - \angle B)$。理由如下：
因为$AD\perp BC$，所以$\angle BAD = 90^{\circ}-\angle B$。因为$\angle BAC = 180^{\circ}-(\angle B+\angle C)$，$AE$平分$\angle BAC$，所以$\angle BAE=\frac{1}{2}\angle BAC = 90^{\circ}-\frac{1}{2}(\angle B+\angle C)$。因为$\angle EAD=\angle BAD - \angle BAE$，所以$\angle EAD = 90^{\circ}-\angle B - 90^{\circ}+\frac{1}{2}(\angle B+\angle C)=\frac{1}{2}(\angle C - \angle B)$。

2. 已知：在四边形ABCD中，AB = AD，∠B + ∠D = 180°，E，F分别是边BC，CD上的点，且∠EAF = $\frac{1}{2}$∠BAD。
(1) 为探究上述问题，小宁同学先画出了其中一种特殊情况，如图1，当∠B = ∠D = 90°时，小宁同学探究此问题的方法是：延长EB到点G，使BG = DF，连接AG，请你在图1中添加上述辅助线，并补全下面的思路。
小宁的解题思路是：先说明△ABG≌________；再说明△AEG≌________；即可得出BE，EF，FD之间的数量关系是________________。
(2) 请你借鉴小宁的方法探究图2，当∠B + ∠D = 180°时，(1)中的结论是否仍然成立？请说明理由。
　　　　　　　　　　　

答案：
解：
(1)$\triangle ADF$ $\triangle AEF$ $EF = BE + FD$
补全图形如图1所示。

(2)
(1)中的结论$EF = BE + FD$仍然成立。理由：
如图2，延长$EB$到$G$，使$BG = DF$，连接$AG$。
因为$\angle ABC+\angle D = 180^{\circ},\angle ABG+\angle ABC = 180^{\circ}$，所以$\angle D=\angle ABG$。
在$\triangle GAB$与$\triangle FAD$中，因为$AB = AD,\angle ABG=\angle D,BG = DF$，
所以$\triangle GAB\cong\triangle FAD(SAS)$，所以$AG = AF,\angle BAG=\angle DAF$。
因为$\angle EAF=\frac{1}{2}\angle BAD$，所以$\angle GAE=\angle BAG+\angle BAE=\angle DAF+\angle BAE=\angle BAD - \angle EAF=\frac{1}{2}\angle BAD=\angle EAF$。
又因为$AE = AE$，
所以$\triangle AEG\cong\triangle AEF(SAS)$，
所以$EF = EG$。
因为$EG = BE + BG$，所以$EF = BE + FD$。