《2025年一线调研学业测评七年级数学下册北师大版》

9. 如图所示，∠E = ∠F，∠B = ∠C，AE = AF，以下结论：①∠FAN = ∠EAM；②EM = FN；③△ACN≌△ABM；④CD = DN。其中正确的有（ ）

A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个

答案： C 【解析】由$\angle E = \angle F,\angle B = \angle C,AE = AF$，易得$\triangle ABE\cong\triangle ACF(AAS)$，得$\angle BAE = \angle CAF$，继而可得$\angle FAN = \angle EAM$，故①正确；由$\angle E = \angle F,AE = AF$，$\angle EAM = \angle FAN$，得$\triangle AEM\cong\triangle AFN(ASA)$，所以$EM = FN,AM = AN$，故②正确；由$\angle CAN = \angle BAM$，$\angle C = \angle B,AN = AM$，得$\triangle ACN\cong\triangle ABM(AAS)$，故③正确；由已知条件无法得到④正确. 故正确的结论有3个。

10. 如图，在△ABC中，∠B = ∠C，点D在BC边上，点E在AC边上，连接AD，DE。已知∠1 = ∠2，AD = DE。
（1）试说明△ABD≌△DCE；
（2）若BD = 3，AC = 5，求AE的长。

答案： 解：
(1)在$\triangle ABD$与$\triangle DCE$中，因为$\angle 1 = \angle 2,\angle B = \angle C,AD = DE$，所以$\triangle ABD\cong\triangle DCE(AAS)$。
(2)因为$\triangle ABD\cong\triangle DCE$，所以$CE = BD = 3$。因为$AC = 5$，所以$AE = AC - EC = 5 - 3 = 2$。

11. 如图，在△ABC中，点D为AC边的中点，过点C作CF//AB，过点D作直线EF交AB于点E，交直线CF于点F，若BE = 9，CF = 6，△ABC的面积为50，求△CDF的面积。

答案： 解：因为点$D$为$AC$边的中点，所以$AD = CD$。因为$CF// AB$，所以$\angle A = \angle FCD$。又因为$\angle ADE = \angle CDF$，所以$\triangle AED\cong\triangle CFD(ASA)$。所以$AE = CF = 6,S_{\triangle ADE} = S_{\triangle CDF}$。因为$BE = 9$，所以$AB = AE + BE = 15$。所以$AE = \frac{2}{5}AB$。所以$S_{\triangle AED} = \frac{2}{5}S_{\triangle ABD}$。因为$D$为$AC$边的中点，$\triangle ABC$的面积为50，所以$S_{\triangle ABD} = S_{\triangle CBD} = \frac{1}{2}S_{\triangle ABC} = 25$。所以$S_{\triangle CDF} = S_{\triangle ADE} = \frac{2}{5}×25 = 10$。

12. （1）如图1，在△ABC中，∠BAC = 90°，AB = AC，AE是过点A的一条直线，且点B，C在AE的同侧，BD⊥AE于点D，CE⊥AE于点E。试说明BD = DE - CE。
（2）上题中，若变成如图2，点B，C在AE的异侧时，BD，DE，CE的数量关系如何？并说明理由。

答案： 解：
(1)因为$BD\perp AE,CE\perp AE$，所以$\angle BDA = \angle AEC = 90^{\circ}$。又因为$\angle BAC = 90^{\circ}$，所以$\angle ABD + \angle DAB = \angle DAB + \angle CAE$。所以$\angle ABD = \angle CAE$。又因为$AB = CA$，所以$\triangle ABD\cong\triangle CAE(AAS)$。所以$BD = AE,AD = CE$。所以$AE + AD = BD + CE$，即$DE = BD + CE$。所以$BD = DE - CE$。
(2)$BD = DE + CE$。理由如下：因为$BD\perp AE,CE\perp AE$，所以$\angle BDA = \angle AEC = 90^{\circ}$。又因为$\angle BAC = 90^{\circ}$，所以$\angle ABD + \angle BAE = \angle CAE + \angle BAE = 90^{\circ}$。所以$\angle ABD = \angle CAE$。又因为$AB = CA$，所以$\triangle ABD\cong\triangle CAE(AAS)$。所以$BD = AE,AD = CE$。又因为$AE = AD + DE$，所以$BD = DE + CE$。