《2025年一线调研学业测评七年级数学下册北师大版》

14. (广西中考)先化简，再求值：$(x + y)(x - y)+(xy^{2}-2xy)\div x$，其中$x = 1$，$y = \frac{1}{2}$。

答案： 解：原式$=x^{2}-y^{2}+y^{2}-2y=x^{2}-2y$，当$x = 1$，$y=\frac{1}{2}$时，原式$=1^{2}-2\times\frac{1}{2}=0$。

15. 已知$a^{2}+2a - 2 = 0$，求代数式$(3a + 2)(3a - 2)-2a(4a - 1)$的值。

答案： 解：因为$a^{2}+2a - 2 = 0$，所以$a^{2}+2a = 2$。所以原式$=9a^{2}-4 - 8a^{2}+2a=a^{2}+2a - 4=2 - 4=-2$。

16. 已知$10^{m} = 20$，$10^{n} = \frac{1}{5}$，求$9^{m}\div3^{2n}$的值。

答案： 因为$10^{m}=20$，$10^{n}=\frac{1}{5}$，所以$10^{m - n}=10^{m}\div10^{n}=20\div\frac{1}{5}=100 = 10^{2}$。所以$m - n = 2$。所以$9^{m}\div3^{2n}=3^{2m}\div3^{2n}=3^{2(m - n)}=3^{4}=81$。

17. (河北中考)发现 两个已知正整数之和与这两个正整数之差的平方和一定是偶数，且该偶数的一半也可以表示为两个正整数的平方和。
验证 如$(2 + 1)^{2}+(2 - 1)^{2} = 10$为偶数，请把 10 的一半表示为两个正整数的平方和。
探究 设“发现”中的两个已知正整数为$m$，$n$，请论证“发现”中的结论正确。

答案： 解：验证：10 的一半为 5，$5 = 1 + 4 = 1^{2}+2^{2}$。
探究：论证如下：
$(m + n)^{2}+(m - n)^{2}=m^{2}+2mn + n^{2}+m^{2}-2mn + n^{2}=2m^{2}+2n^{2}=2(m^{2}+n^{2})$。故两个已知正整数之和与这两个正整数之差的平方和一定是偶数，且该偶数的一半也可以表示为两个正整数的平方和。

18. 如图 1 是一个长为$4a$、宽为$b$的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个如图 2 的正方形。
(1)观察图 2，请你写出$(a + b)^{2}$，$(a - b)^{2}$，$ab$之间的等量关系：______________________。
根据(1)中的结论，解决下列问题：
(2)若$x - y = 5$，$xy = 6$，则$x + y =$______。
(3)设$A = \frac{x - 2y - 3}{4}$，$B = x + 2y - 3$，求$(A - B)^{2}-(A + B)^{2}$的结果。

答案： 解：
(1)$(a + b)^{2}-(a - b)^{2}=4ab$
(2)$\pm7$
(3) 因为$A=\frac{x - 2y - 3}{4}$，$B = x + 2y - 3$，所以原式$=-[(A + B)^{2}-(A - B)^{2}]=-4AB=-4\cdot\frac{x - 2y - 3}{4}\cdot(x + 2y - 3)=-(x - 3 - 2y)(x - 3 + 2y)=-[(x - 3)^{2}-(2y)^{2}]=-(x^{2}-6x + 9 - 4y^{2})=-x^{2}+6x - 9 + 4y^{2}$。