《2025年一线调研学业测评七年级数学下册北师大版》

12. (荆门中考)如图，点G为△ABC的重心，D，E，F分别为BC，CA，AB的中点，且AG:GD = BG:GE = CG:GF = 2:1。已知△AFG的面积为3，则△ABC的面积为_______。

答案： 18

13. 在△ABC中，AB＞AC，D，E是BC边上的两点，且BD＜BE，有下列四个推断：
①若AD是△ABC的高，则AE可能是△ABC的中线；
②若AD是△ABC的中线，则AE可能是△ABC的高；
③若AD是△ABC的角平分线，则AE可能是△ABC的中线；
④若AD是△ABC的高，则AE不可能是△ABC的角平分线。
上述推断中所有正确结论的序号是______。

答案： ②④

14. 如图所示，在△ABC中，AB = AC = 8，P是BC上任意一点，PD⊥AB于点D，PE⊥AC于点E。若△ABC的面积为14，问：PD + PE的值是否确定？若能确定，求出该值；若不能确定，请说明理由。

答案：
解：$PE + PD$的值能确定，为$\frac{7}{2}$。理由如下：如图，连接AP，因为$PD\perp AB$，$PE\perp AC$，所以$PD$，$PE$分别是$\triangle ABP$，$\triangle ACP$的边$AB$，$AC$上的高。因为$S_{\triangle ABC}=S_{\triangle ABP}+S_{\triangle ACP}=14$，所以$14 = \frac{1}{2}\times AB\times PD+\frac{1}{2}\times AC\times PE$。因为$AB = AC = 8$，所以$14=\frac{1}{2}\times 8\times(PD + PE)$，所以$PD + PE=\frac{7}{2}$。

15. 认真阅读下面关于三角形内外角平分线所夹角探究片段，完成所提出的问题。
(1) 如图1所示，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线交于点O，若∠A = 50°，则∠BOC = ________；
(2)如图2所示，∠CBD，∠BCE的平分线交于点O，写出∠BOC与∠A的关系，并说明理由。

答案： 解：
(1)$115^{\circ}$
(2)$\angle BOC = 90^{\circ}-\frac{1}{2}\angle A$。理由：在$\triangle ABC$中，$\angle ABC+\angle ACB+\angle A = 180^{\circ}$，所以$\angle ABC+\angle ACB = 180^{\circ}-\angle A$。因为$OB$，$OC$分别平分$\angle DBC$，$\angle ECB$，所以$\angle OBC=\frac{1}{2}\angle DBC$，$\angle OCB=\frac{1}{2}\angle ECB$。所以$\angle OBC+\angle OCB=\frac{1}{2}\angle DBC+\frac{1}{2}\angle ECB=\frac{1}{2}(\angle DBC+\angle ECB)=\frac{1}{2}[(180^{\circ}-\angle ABC)+(180^{\circ}-\angle ACB)]=\frac{1}{2}[360^{\circ}-(\angle ABC+\angle ACB)]=\frac{1}{2}[360^{\circ}-(180^{\circ}-\angle A)] = 90^{\circ}+\frac{1}{2}\angle A$。所以$\angle BOC = 180^{\circ}-(\angle OBC+\angle OCB)=180^{\circ}-(90^{\circ}+\frac{1}{2}\angle A)=90^{\circ}-\frac{1}{2}\angle A$。