《2025年5年中考3年模拟九年级数学下册湘教版》

22. [答案含评分细则]跨化学·制取氢气（2024湖南长沙开福立信中学三模）（7分）化学实验课上，张老师带来了Mg（镁）、Al（铝）、Zn（锌）、Cu（铜）四种金属，这四种金属分别用相同的不透明容器装着，让同学们随机选择一种金属与稀盐酸反应来制取氢气.（根据金属活动性顺序可知：Mg、Al、Zn可以置换出氢气，而Cu不能置换出氢气）
（1）小明从四种金属中随机选一种，则选到Al的概率为________.
（2）小明和小红分别从四种金属中随机选一种金属进行实验，求两人所选金属均能置换出氢气的概率.

答案：
(1)$\frac{1}{4}$. …… 2 分
(2)列表如下：
| 小红 小明 | $Mg$ | $Al$ | $Zn$ | $Cu$ |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| $Mg$ | $(Mg,Mg)$ | $(Mg,Al)$ | $(Mg,Zn)$ | $(Mg,Cu)$ |
| $Al$ | $(Al,Mg)$ | $(Al,Al)$ | $(Al,Zn)$ | $(Al,Cu)$ |
| $Zn$ | $(Zn,Mg)$ | $(Zn,Al)$ | $(Zn,Zn)$ | $(Zn,Cu)$ |
| $Cu$ | $(Cu,Mg)$ | $(Cu,Al)$ | $(Cu,Zn)$ | $(Cu,Cu)$ |
…… 5 分
共有 16 种等可能的结果，其中两人所选金属均能置换出氢气的结果有 9 种，$\therefore$ 两人所选金属均能置换出氢气的概率为 $\frac{9}{16}$. …… 7 分

23. [答案含评分细则]（2024山东滨州中考）（9分）春节期间，全国各影院上映多部影片，某影院每天运营成本为2 000元，该影院每天售出的电影票数量y（单位：张）与售价x（单位：元/张）之间满足一次函数关系（30≤x≤80，且x是整数），部分数据如下表所示：（M9201005）
|电影票售价x（元/张）|40|50|
|----|----|----|
|售出电影票数量y（张）|164|124|
（1）请求出y与x之间的函数关系式.
（2）设该影院每天的利润（利润 = 票房收入 - 运营成本）为w（单位：元），求w与x之间的函数关系式.
（3）该影院将电影票售价定为多少时，每天获利最大？最大利润是多少？

答案：
(1)设 $y$ 与 $x$ 之间的函数关系式是 $y = kx + b(k\neq0)$，…… 1 分
将 $x = 40$，$y = 164$ 和 $x = 50$，$y = 124$ 代入解析式，得 $\begin{cases}40k + b = 164\\50k + b = 124\end{cases}$，解得 $\begin{cases}k = -4\\b = 324\end{cases}$，故 $y$ 与 $x$ 之间的函数关系式是 $y = -4x + 324(30\leqslant x\leqslant80$，且 $x$ 是整数$)$. …… 3 分
(2)$w = x(-4x + 324) - 2000 = -4x^2 + 324x - 2000(30\leqslant x\leqslant80)$. …… 5 分
(3)由
(2)知 $w = -4x^2 + 324x - 2000 = -4(x - 40.5)^2 + 4561$，…… 7 分
$\because 30\leqslant x\leqslant80$，且 $x$ 是整数，$\therefore$ 当 $x = 40$ 或 41 时，$w$ 取得最大值，此时 $w = 4560$.
答：该影院将电影票售价定为 40 元/张或 41 元/张时，每天获利最大，最大利润是 4560 元. …… 9 分

24. [答案含评分细则]新考向·项目式学习试题（2024山西中考）（9分）【阅读与思考】
下面是博学小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读，并完成相应任务.
关于“等边半正多边形”的研究报告
博学小组
研究对象：等边半正多边形.
研究思路：类比三角形、四边形，按“概念—性质—判定”的路径，由一般到特殊进行研究.
研究方法：观察（测量、实验）—猜想—推理证明.
研究内容：
【一般概念】对于一个凸多边形（边数为偶数），若其各边都相等，且相间的角相等、相邻的角不相等，我们称这个凸多边形为等边半正多边形.
如图1，我们学习过的菱形（正方形除外）就是等边半正四边形，类似地，还有等边半正六边形、等边半正八边形……

【特例研究】根据等边半正多边形的定义，对等边半正六边形研究如下：
概念理解：如图2，如果六边形ABCDEF是等边半正六边形，那么AB = BC = CD = DE = EF = FA，∠A = ∠C = ∠E，∠B = ∠D = ∠F，且∠A≠∠B.

性质探索：根据定义，探索等边半正六边形的性质，得到如下结论：
内角：等边半正六边形相邻两个内角的和为 ▲ °.
对角线：……
任务：（M9202007）
（1）直接写出研究报告中“▲”处空缺的内容：________.
（2）如图3，六边形ABCDEF是等边半正六边形，连接对角线AD，猜想∠BAD与∠FAD的数量关系，并说明理由.
（3）如图4，已知△ACE是正三角形，⊙O是它的外接圆.请在图4中作一个等边半正六边形ABCDEF.（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）

答案：

(1)240. …… 2 分
(2)$\angle BAD = \angle FAD$. …… 3 分
理由：连接 $BD$，$FD$（图略）. …… 4 分
$\because$ 六边形 $ABCDEF$ 是等边半正六边形，
$\therefore AB = BC = CD = DE = EF = FA$，$\angle C = \angle E$. …… 5 分
$\therefore \triangle BCD\cong\triangle FED(SAS)$，$\therefore BD = FD$，…… 6 分
$\therefore \triangle BAD\cong\triangle FAD(SSS)$，$\therefore \angle BAD = \angle FAD$. …… 7 分
(3)答案不唯一，例如：
【作法一】
【作法二】
如图，六边形 $ABCDEF$ 即为所求.（评分说明：作图正确并保留作图痕迹得 1 分. 字母标注正确得 1 分）
…… 9 分