《2025年5年中考3年模拟九年级数学下册湘教版》

1.(2024浙江绍兴嵊州期中)已知二次函数$y = x^{2}$,则其图象经过下列点中的(M9201002) ( )
A.$(-2,4)$
B.$(-2,-4)$
C.$(2,-4)$
D.$(4,2)$

答案： A 当$x = - 2$时，$y = (-2)^{2}=4$，故二次函数图象经过点$(-2,4)$，不经过点$(-2,-4)$。当$x = 2$时，$y = 2^{2}=4\neq - 4$，故二次函数图象不经过点$(2,-4)$。当$x = 4$时，$y = 4^{2}=16\neq 2$，故二次函数图象不经过点$(4,2)$。故选 A。

2.(2024湖北恩施州巴东期中)二次函数$y = 2x^{2}$的图象大致是(M9201002) ( )

答案： A $y = 2x^{2}$的图象是一条过原点、开口向上、对称轴为$y$轴的抛物线，故选 A。

3.(2023浙江杭州滨江期末)已知二次函数$y = (m - 2)x^{2}$($m$为实数,且$m\neq2$),当$x\leq0$时,$y$随$x$的增大而减小,则实数$m$的取值范围是(M9201002) ( )
A.$m＜0$
B.$m＞2$
C.$m＞0$
D.$m＜2$

答案： B $\because$当$x\leqslant0$时，$y$随$x$的增大而减小，$\therefore$抛物线开口向上，$\therefore m - 2＞0$，$\therefore m＞2$，故选 B。

4.教材变式·P7T1 有以下关于函数$y = 8x^{2}$的图象的说法:(1)有最低点;(2)是轴对称图形;(3)与$y$轴的交点为原点;(4)开口向上.其中正确的有 ( )
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个

答案： D 函数$y = 8x^{2}$的图象是轴对称图形，图象的开口向上，有最低点，与$y$轴的交点为原点，故选 D。

5.(2023天津河西区期中)下列二次函数的图象中,开口最小的是 ( )
A.$y = 10x^{2}$
B.$y = 2x^{2}$
C.$y = 3x^{2}$
D.$y=\frac{1}{20}x^{2}$

答案： A $\because$二次函数$y = ax^{2}$中，$\vert a\vert$越大，图象开口越小，$\frac{1}{20}＜2＜3＜10$，$\therefore$二次函数$y = 10x^{2}$的图象开口最小。故选 A。

6.新独家原创 若二次函数$y = mx^{\vert m - 1\vert}$有最小值,则当$y = 27$时,$x$的值为_______.

答案： $\pm3$
解析 $\because$二次函数$y = mx^{\vert m - 1\vert}$有最小值，$\therefore\begin{cases}\vert m - 1\vert = 2\\m＞0\end{cases}$，解得$m = 3$，$\therefore y = 3x^{2}$。令$y = 27$，则$3x^{2}=27$，解得$x=\pm3$。

7.(2024广东中考,8,★☆☆)若点$(0,y_{1})$,$(1,y_{2})$,$(2,y_{3})$都在二次函数$y = x^{2}$的图象上,则(M9201002) ( )
A.$y_{3}＞y_{2}＞y_{1}$
B.$y_{2}＞y_{1}＞y_{3}$
C.$y_{1}＞y_{3}＞y_{2}$
D.$y_{3}＞y_{1}＞y_{2}$

答案： A $\because$二次函数$y = x^{2}$中，$a = 1＞0$，$\therefore$该二次函数的图象开口向上，对称轴为$y$轴，当$x\geqslant0$时，$y$随$x$的增大而增大。$\because0＜1＜2$，$\therefore y_{1}＜y_{2}＜y_{3}$，故选 A。

8.(2024湖南衡阳模拟,10,★☆☆)二次函数$y = 4\sqrt{3}x^{2}$的图象如图所示,点$O$为坐标原点,点$A$在$y$轴的正半轴上,点$B$,$C$在函数图象上,四边形$OBAC$为菱形,且$\angle ABO = 120^{\circ}$,则点$C$的坐标为(M9201002) ( )
 


A.$(-\frac{1}{4},\frac{\sqrt{3}}{2})$
B.$(-\frac{1}{4},\frac{\sqrt{3}}{4})$
C.$(-1,\frac{\sqrt{3}}{4})$
D.$(-1,\sqrt{3})$

答案：
B 连接$BC$交$OA$于点$D$，如图，

$\because$四边形$OBAC$为菱形，$\therefore BC\perp OA$。
$\because\angle ABO = 120^{\circ}$，$\therefore\angle OBD = 60^{\circ}$，$\therefore OD=\sqrt{3}BD$。
设$BD = t$，则$OD=\sqrt{3}t$，$\therefore$点$B$的坐标为$(t,\sqrt{3}t)$。
把$(t,\sqrt{3}t)$代入$y = 4\sqrt{3}x^{2}$，得$\sqrt{3}t = 4\sqrt{3}t^{2}$，解得$t_{1}=0$（舍去），$t_{2}=\frac{1}{4}$，$\therefore BD=\frac{1}{4}$，$OD=\frac{\sqrt{3}}{4}$，$\therefore$点$C$的坐标为$(-\frac{1}{4},\frac{\sqrt{3}}{4})$。故选 B。

9.新考向·代数推理 (2023湖南衡阳衡南一模,18,★★☆)如图,已知$A_{1},A_{2},A_{3},\cdots,A_{n}$是$x$轴上的点,且$OA_{1}=A_{1}A_{2}=A_{2}A_{3}=A_{3}A_{4}=\cdots=A_{n - 1}A_{n}=1$,分别过点$A_{1},A_{2},A_{3},\cdots,A_{n}$作$x$轴的垂线交二次函数$y=\frac{1}{2}x^{2}(x＞0)$的图象于点$P_{1},P_{2},P_{3},\cdots,P_{n}$,若记$\triangle OA_{1}P_{1}$的面积为$S_{1}$,过点$P_{1}$作$P_{1}B_{1}\perp A_{2}P_{2}$于点$B_{1}$,记$\triangle P_{1}B_{1}P_{2}$的面积为$S_{2}$,过点$P_{2}$作$P_{2}B_{2}\perp A_{3}P_{3}$于点$B_{2}$,记$\triangle P_{2}B_{2}P_{3}$的面积为$S_{3}$,$\cdots\cdots$依次进行下去,最后记$\triangle P_{n - 1}B_{n - 1}P_{n}(n＞1)$的面积为$S_{n}$,则$S_{3}=$_______,$S_{n}=$________.(M9201002)

答案：  $\frac{5}{4};\frac{2n - 1}{4}$
解析 当$x = 1$时，$y=\frac{1}{2}x^{2}=\frac{1}{2}$，则$P_{1}(1,\frac{1}{2})$，所以$S_{1}=\frac{1}{2}\times1\times\frac{1}{2}=\frac{1}{4}$；当$x = 2$时，$y=\frac{1}{2}x^{2}=2$，则$P_{2}(2,2)$，所以$S_{2}=\frac{1}{2}\times1\times(2 - \frac{1}{2})=\frac{3}{4}$；当$x = 3$时，$y=\frac{1}{2}x^{2}=\frac{9}{2}$，则$P_{3}(3,\frac{9}{2})$，所以$S_{3}=\frac{1}{2}\times1\times(\frac{9}{2}-2)=\frac{5}{4}$，$\cdots\cdots$，依次类推，$S_{n}=\frac{1}{2}\times1\times[\frac{1}{2}n^{2}-\frac{1}{2}(n - 1)^{2}]=\frac{2n - 1}{4}$。